Übersicht wichtiger Zahlenkörper/-ringe
ℕ | ⊊ | ℤ | ⊊ | ℚ | ⊊ | | ℝ ⊊ *ℝ ⊊ Sur | |||||
× | × | | × | |||||||||
ℤ[i] | ⊊ | ℚ(i) | ⊊ | | ℂ | |||||||
⊊ | ⊊ | | | |||||||||
g𝔸 | ⊊ | 𝔸 | ⊊ | ||||||||
× | × | ⊊ | | × | ||||||||
[𝕊] | | | ||||||||||
————————————————————— | |———————————— | ||||||||||
gℍ | ⊊ | rℍ | ⊊ | | ℍ | |||||||
| × | |||||||||||
| 𝕆 | |||||||||||
| × | |||||||||||
| Sedenionen |
ℕ | natürliche Zahlen | kommutativer Bewertungshalbring | D ANBK - ANK | |
ℤ | ganze Zahlen ⊊ ↓ | 1-dimensional ganz | euklidischer noetherscher Ring | |
ℤ[i] | Gaußsche Zahlen | 2-dimensional ganz | D GK - ANK ohne T | |
ℤ[ω] | Eisenstein-Zahlen | euklidischer Ganzheitsring, Kreisteilungskörper, imaginärquadratischer Zahlkörper | D GK - ANK ohne T | |
g𝔸 | ganzalgebraische Zahlen | Nullstelle eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten | Ganzheitsring ? | D GK - ANK ohne T |
positive Brüche ⊊ ↓ | kommutativer Halbkörper | D AK - GK | ||
positive Brüche mit 0 ⊊ ↓ | kommutativer Halbkörper mit 0 | D ANBK - GK | ||
ℚ | rationale Zahlen ⊊ ↓ | 1-dimensional rational | geordneter Körper | D GK - GK |
ℚ(i) | rationale Gaußsche Zahlen | 2-dimensional rational | Kreisteilungskörper, imaginärquadratischer Zahlkörper | D GK - GK |
konstruierbare Zahlen ⊊ ↓ | mit Zirkel und Lineal konstruierbar | archimedisch geordneter euklidischer Körper | D GK - GK | |
r𝔸 | reell abgeschlossener archimedisch geordneter euklidischer Körper | D GK - GK | ||
𝔸 | algebraische Zahlen ⊊ ↓ | algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper | D GK - GK | |
𝕊 | [strukturierte Zahlen] ⊊ ↓ | Äquivalenzklassen von <>()[] konstruierten Termen | algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper | D GK - GK |
berechenbare Zahlen | berechenbar durch eine Turingmaschine | Körper | D GK - GK | |
———————————————— überabzählbar unendlich —————————————————— | ||||
proendliche Zahlen | Rest in allen ganzzahligen Restklassenringen | proendliche Gruppe -- kompakt, total unzusammenhängend | G | |
ℤp | ganze p-adische Zahlen ⊊ ↓ | Folge von Restklassen aus ℤ/pnℤ | diskreter Bewertungsring und proendliche Gruppe -- wie oben + vollständig | D GK - ANK ohne T |
ℚp | p-adische Zahlen ⊊ ↓ | {p-n | n ∈ ℕ0} • ℤp= ℚ • ℤp = ℚ + ℤp | nicht geordneter Körper -- vollständig, lokalkompakt, total unzusammenhängend | D GK - GK |
ℂp | Vervollständigung des algebraischen Abschlusses der Metrik auf ℚp | algebraisch abgeschlossener nicht geordneter Körper | D GK - GK | |
ℝ | reelle Zahlen ⊊ ↓ | 1-dimensional reell - am wenigsten mächtiges konsistent behauptbares Kontinuum |
reell abgeschlossener archimedisch geordneter euklidischer Körper | D GK - GK |
ℂ | komplexe Zahlen | 2-dimensional reell | algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper | D GK - GK |
*ℝ | hyperreelle Zahlen | Folgen von reellen Zahlen | reell abgeschlossener Körper | D GK - GK |
ℵOn | Kardinalzahlen | Mächtigkeit einer Menge | echte Klasse mit Eigenschaften eines kommutativen Bewertungshalbrings | D ANBK - ANK |
Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke | kommutativer Bewertungshalbring | D ANBK - ANK | ||
zusätzlich beschränkt auf unendliche Kardinalzahlen und 0 und 1 | kommutatives Dioid | D ANBKP - ANKP | ||
On | Ordinalzahlen ⊊ ↓ | Position in einer geordneten Menge | echte Klasse mit Monoideigenschaften | D AN - AN |
Sur | surreale Zahlen ⊊ ↓ | Äquivalenzklassen von konstruierten Mengen | echte Klasse mit Eigenschaften eines geordneten Körpers | D GK - GK |
—————————————————————————————————————— hyperkomplex —————————————————————————————————————————————————— | ||||
gℍ | Hurwitzquaternion | 4-dimensional ganz | euklidischer Ganzheitsring | D GK - ANK ohne T |
rℍ | rationale Quaternionen | 4-dimensional rational | Schiefkörper (Divisionsring) | D GK - G |
———————————————— überabzählbar unendlich —————————————————— | ||||
ℍ | Quaternionen ⊊ ↓ | 4-dimensional reell | Schiefkörper (Divisionsring) | D GK - G |
𝕆 | Oktonionen ⊊ ↓ | 8-dimensional reell | Alternativkörper | D GK - AltNI |
Sedenionen | 16-dimensional reell | nichtkommutative Jordan-Algebra | D GK - FlexNI | |
———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————— | ||||
definierbare Zahlen | definiert in einer formalen Sprache | ? |
Ordinalzahlen
transitive Menge - x ∈ y ∧ y ∈ M → x ∈ M bzw. x ∈ M → x ⊂ M bzw. M ⊂ P(M)
Ordinalzahl - transitive Menge aus Ordinalzahlen (nach Neumann-Zermelo)
jede wohlgeordnete Menge ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl
z.B. ist {0, 2, 4, 6, ..., ω, ω + 2, ω + 4, ω + 6} ordnungsisomorph zu {0, 1, 2, 3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3}
0 = ∅
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}
5 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}, {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}}
...
ω = ω0 = {0, 1, 2, ...} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ...} - erste bzw. kleinste (abzählbar) unendliche Ordinalzahl bzw. Limes-Ordinalzahl
ω + 1 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}} = {0, 1, 2, ..., ω} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ..., {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ...}}
ω + 2 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}} = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1}
...
ω * 2 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ...} = {0, 1, 2, ..., ω, {0, 1, 2, ..., ω}, ...} = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}
ω * 2 + 1 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ..., {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ...}}
ω * 2 + 2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}, {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}}}
...
ω * 3 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}, {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}}, ...}
...
ω * 4 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...}
...
ω2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2}
ω2 + 1 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2}
...
ω2 + ω = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ...}
...
ω2 * 2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...2}
...
ω3 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...3}
...
ωω = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...ω}
...
ωωω = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...ωω}
...
ωωωω... = ε0 = ωε0 - erste Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε0 + 1
ε0 + ω
ε0 + ω2
ε0 + ωω
ε0 * 2
ε02
ε0ω
ε0ωω
...
ε0ωωω... = ε0ε0
ε0ε0 + 1
...
ε0ε0ε0... = ε1 = ε0ε1 = ωε1 - zweite Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε1 + 1
...
ε1ε1ε1... = ε2 = ε1ε2 = ε0ε2 = ωε2 - dritte Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε2 + 1
...
εω = ωεω - ω-te Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
εω + 1
...
εω+1
εω+1 + 1
...
εω*2
εω*2 + 1
...
εω2
εω2 + 1
...
εωω
εωω + 1
...
εωωω... = εε0
εε0 + 1
...
εεε... = ω1 = εω1 - Ordinalzahl mit 2. Fixpunkteigenschaft - erste bzw. kleinste überabzählbar unendliche Ordinalzahl - Mächtigkeit von ℝ des am wenigsten kontinuierlichen Kontinuums
ω1 + 1
...
ω1ω1ω1... = π0 = ω1π0 - erste Ordinalzahl mit 3. Fixpunkteigenschaft
π0 + 1
...
π0π0π0... = π1 = π0π1 = ω1π1 - zweite Ordinalzahl mit 3. Fixpunkteigenschaft
π1 + 1
...
πππ... = ω2 = πω2 - Ordinalzahl mit 4. Fixpunkteigenschaft - erste bzw. kleinste überüberabzählbar unendliche Ordinalzahl
ω2 + 1
...
ωω
ωω + 1
...
ωωω
ωωω + 1
...
ωωωω...
ωωωω... + 1
...
Ω = Ω + 1 - größte Ordinalzahl - Mächtigkeit des nicht widersprechbaren Kontinuums - unendlichvielfältig unendlichfach gesteigerte Unendlichkeit - nicht konsistent definierbar bzw. formalisierbar (ebenso wie Gott Typ 1, Welt und Leben)
Kardinalzahlen
0 = 0 = ∅
1 = 1 = {∅}
2 = 2 = {∅, {∅}}
3 = 3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = 4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}
...
ℵ0 = ℶ0 = |ω| = |ℕ| - abzählbar unendliche Mächtigkeit - Mächtigkeit von ℕ
unter Voraussetzung des Auswahlaxiom gilt ω = ℵ0 = ℶ0 bzw. ℵ ⊊ On wodurch Kardinalzahlen zu speziellen (Neumann-Zermelo-)Ordinalzahlen und somit zu (wohlgeordneten) Mengen werden
ω1 ≤ ℵ1 ≤ ℶ1 = 2ℶ0 = 2ℵ0 = 2|ℕ| = |R| - überabzählbar unendliche Mächtigkeiten - Mächtigkeit von ℝ
für alle Ordinalzahlen a > 0 gilt ωa ≤ ℶa und ℵa ≤ ℶa und ℵa+1 ≤ 2ℵa und ℶa+1 = 2ℶa
unter Voraussetzung der Kontinuumshypothese (CH) gilt | ℵa+1 = 2ℵa | ωa ≤ ℵa = ℶa < ωa+1 | ω1 ≤ ℵ1 = ℶ1 = |R| = 2|N| < ω2 ≤ ℵ2 = ℶ2 = 2|R| < ... |
unter Voraussetzung der Negation von CH gilt | ℵa+1 < 2ℵa | ℵa < ℶa < ωa+1 | ω1 ≤ ℵ1 < ℶ1 = |R| = 2|N| < ω2 ≤ ℶ2 = 2|R| < ... |