Übersicht wichtiger Zahlenkörper/-ringe

 ℕ   ⊊  ℤ     ⊊       ℚ      ⊊   |   ℝ    ⊊   *ℝ    ⊊    Sur
     ×        ×         |   ×
     ℤ[i]     ⊊   ℚ(i)      ⊊   |   ℂ
        ⊊        ⊊       |
         g𝔸    ⊊    𝔸     |
     ×        ×      ⊊   |   ×
                     [𝕊] |
————————————————————— |————————————
     gℍ     ⊊   rℍ      ⊊   |   ℍ
                      |   ×
                      |   𝕆
                      |   ×
                      |   Sedenionen

 

ℕ natürliche Zahlen ⊊ ↓   kommutativer Bewertungshalbring D ANBK - ANK
ℤ ganze Zahlen ⊊ ↓ 1-dimensional ganz euklidischer noetherscher Ring D GK - ANK ohne T
ℤ[i] Gaußsche Zahlen 2-dimensional ganz euklidischer Ganzheitsring, Kreisteilungskörper, imaginärquadratischer Zahlkörper D GK - ANK ohne T
ℤ[ω] Eisenstein-Zahlen   euklidischer Ganzheitsring, Kreisteilungskörper, imaginärquadratischer Zahlkörper D GK - ANK ohne T
g𝔸 ganzalgebraische Zahlen Nullstelle eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten Ganzheitsring ? D GK - ANK ohne T
  positive Brüche ⊊ ↓   kommutativer Halbkörper D AK - GK
  positive Brüche mit 0 ⊊ ↓   kommutativer Halbkörper mit 0 D ANBK - GK
ℚ rationale Zahlen ⊊ ↓ 1-dimensional rational geordneter Körper D GK - GK
ℚ(i) rationale Gaußsche Zahlen 2-dimensional rational Kreisteilungskörper, imaginärquadratischer Zahlkörper D GK - GK
  konstruierbare Zahlen ⊊ ↓ mit Zirkel und Lineal konstruierbar archimedisch geordneter euklidischer Körper D GK - GK
r𝔸 reelle algebraische Zahlen ⊊ ↓   reell abgeschlossener archimedisch geordneter euklidischer Körper D GK - GK
𝔸 algebraische Zahlen ⊊ ↓ Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper  D GK - GK
𝕊 [strukturierte Zahlen] ⊊ ↓ Äquivalenzklassen von <>()[] konstruierten Termen algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper D GK - GK
  berechenbare Zahlen berechenbar durch eine Turingmaschine Körper D GK - GK
    ———————————————— überabzählbar unendlich ——————————————————  
  proendliche Zahlen Rest in allen ganzzahligen Restklassenringen proendliche Gruppe -- kompakt, total unzusammenhängend G
ℤp ganze p-adische Zahlen ⊊ ↓ Folge von Restklassen aus ℤ/pnℤ diskreter Bewertungsring und proendliche Gruppe -- wie oben + vollständig D GK - ANK ohne T
ℚp p-adische Zahlen ⊊ ↓ {p-n | n ∈ ℕ0} • ℤp= ℚ • ℤp = ℚ + ℤp nicht geordneter Körper -- vollständig, lokalkompakt, total unzusammenhängend D GK - GK
ℂp Vervollständigung des algebraischen Abschlusses der Metrik auf ℚp algebraisch abgeschlossener nicht geordneter Körper D GK - GK
ℝ reelle Zahlen ⊊ ↓ 1-dimensional reell - am wenigsten mächtiges
konsistent behauptbares Kontinuum		 reell abgeschlossener archimedisch geordneter euklidischer Körper D GK - GK
ℂ komplexe Zahlen 2-dimensional reell algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper D GK - GK
*ℝ hyperreelle Zahlen Folgen von reellen Zahlen reell abgeschlossener Körper D GK - GK
ℵOn Kardinalzahlen Mächtigkeit einer Menge echte Klasse mit Eigenschaften eines kommutativen Bewertungshalbrings D ANBK - ANK
  Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke kommutativer Bewertungshalbring D ANBK - ANK
  zusätzlich beschränkt auf unendliche Kardinalzahlen und 0 und 1 kommutatives Dioid D ANBKP - ANKP
On Ordinalzahlen ⊊ ↓ Position in einer geordneten Menge echte Klasse mit Monoideigenschaften D AN - AN
Sur surreale Zahlen ⊊ ↓ Äquivalenzklassen von konstruierten Mengen echte Klasse mit Eigenschaften eines geordneten Körpers D GK - GK
—————————————————————————————————————— hyperkomplex ——————————————————————————————————————————————————
gℍ Hurwitzquaternion 4-dimensional ganz euklidischer Ganzheitsring D GK - ANK ohne T
rℍ rationale Quaternionen 4-dimensional rational Schiefkörper (Divisionsring) D GK - G
    ———————————————— überabzählbar unendlich ——————————————————  
ℍ Quaternionen ⊊ ↓ 4-dimensional reell Schiefkörper (Divisionsring) D GK - G
𝕆 Oktonionen ⊊ ↓ 8-dimensional reell Alternativkörper D GK - AltNI
  Sedenionen 16-dimensional reell nichtkommutative Jordan-Algebra D GK - FlexNI
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
  definierbare Zahlen definiert in einer formalen Sprache ?  

Ordinalzahlen

transitive Menge - x ∈ y ∧ y ∈ M → x ∈ M   bzw.   x ∈ M → x ⊂ M   bzw.   M ⊂ P(M)
Ordinalzahl - transitive Menge aus Ordinalzahlen (nach Neumann-Zermelo)
jede wohlgeordnete Menge ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl
z.B. ist {0, 2, 4, 6, ..., ω, ω + 2, ω + 4, ω + 6} ordnungsisomorph zu {0, 1, 2, 3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3}

0 = ∅
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}
5 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}, {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}}
...
ω = ω0 = {0, 1, 2, ...} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ...}   -   erste bzw. kleinste (abzählbar) unendliche Ordinalzahl bzw. Limes-Ordinalzahl
ω + 1 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}} = {0, 1, 2, ..., ω} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ..., {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ...}}
ω + 2 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}} = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1}
...
ω * 2       = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ...} = {0, 1, 2, ..., ω, {0, 1, 2, ..., ω}, ...} = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}
ω * 2 + 1 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ..., {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ...}}
ω * 2 + 2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}, {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}}}
...
ω * 3   = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}, {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}}, ...}
...
ω * 4   = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...}
...
ω2       = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2}
ω2 + 1 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2}
...
ω2 + ω = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ...}
...
ω2 * 2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...2}
...
ω3       = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...3}
...
ωω      = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...ω}
...
ωωω    = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...ωω}
...
ωωωω... = ε0 = ωε0   -   erste Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε0 + 1
ε0 + ω
ε0 + ω2
ε0 + ωω
ε0 * 2
ε02
ε0ω
ε0ωω
...
ε0ωωω... = ε0ε0
ε0ε0 + 1
...
ε0ε0ε0... = ε1 = ε0ε1 = ωε1   -   zweite Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε1 + 1
...
ε1ε1ε1... = ε2 = ε1ε2 = ε0ε2 = ωε2   -   dritte Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε2 + 1
...
εω = ωεω   -   ω-te Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
εω + 1
...
εω+1
εω+1 + 1
...
εω*2
εω*2 + 1
...
εω2
εω2 + 1
...
εωω
εωω + 1
...
εωωω... = εε0
εε0 + 1
...
εεε... = ω1 = εω1  -   Ordinalzahl mit 2. Fixpunkteigenschaft  -  erste bzw. kleinste überabzählbar unendliche Ordinalzahl - Mächtigkeit von ℝ des am wenigsten kontinuierlichen Kontinuums
ω1 + 1
...
ω1ω1ω1... = π0 = ω1π0  -   erste Ordinalzahl mit 3. Fixpunkteigenschaft
π0 + 1
...
π0π0π0... = π1 = π0π1 = ω1π1   -   zweite Ordinalzahl mit 3. Fixpunkteigenschaft
π1 + 1
...
πππ... = ω2 = πω2   -   Ordinalzahl mit 4. Fixpunkteigenschaft  -  erste bzw. kleinste überüberabzählbar unendliche Ordinalzahl
ω2 + 1
...
ωω
ωω + 1
...
ωωω
ωωω + 1
...
ωωωω...
ωωωω... + 1
...
Ω = Ω + 1   -   größte Ordinalzahl - Mächtigkeit des nicht widersprechbaren Kontinuums - unendlichvielfältig unendlichfach gesteigerte Unendlichkeit - nicht konsistent definierbar bzw. formalisierbar (ebenso wie Gott Typ 1, Welt und Leben)

Kardinalzahlen

0 = 0 = ∅
1 = 1 = {∅}
2 = 2 = {∅, {∅}}
3 = 3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = 4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}
...
ℵ0 = ℶ0 = |ω| = |ℕ|   -   abzählbar unendliche Mächtigkeit - Mächtigkeit von ℕ
unter Voraussetzung des Auswahlaxiom gilt ω = ℵ0 = ℶ0 bzw. ℵ ⊊ On wodurch Kardinalzahlen zu speziellen (Neumann-Zermelo-)Ordinalzahlen und somit zu (wohlgeordneten) Mengen werden
ω1 ≤ ℵ1 ≤ ℶ1 = 2ℶ0 = 2ℵ0 = 2|ℕ| = |R|   -   überabzählbar unendliche Mächtigkeiten - Mächtigkeit von ℝ
für alle Ordinalzahlen a > 0 gilt ωa ≤ ℶa und ℵa ≤ ℶa und ℵa+1 ≤ 2ℵa und ℶa+1 = 2ℶa

unter Voraussetzung der Kontinuumshypothese (CH) gilt    ℵa+1 = 2ℵa       ωa ≤ ℵa = ℶa < ωa+1       ω1 ≤ ℵ1 = ℶ1 = |R| = 2|N| < ω2 ≤ ℵ2 = ℶ2 = 2|R| < ...
unter Voraussetzung der Negation von CH gilt ℵa+1 < 2ℵa         ℵa < ℶa < ωa+1 ω1 ≤ ℵ1 < ℶ1 = |R| = 2|N| < ω2 ≤         ℶ2 = 2|R| < ...
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