Unvollständige, inkonsistente und fehlerhafte Übersicht mathematischer Strukturen

In dieser Übersicht werden Dinge zusammengefügt, die oft nicht richtig zusammen passen, und damit Verbindungen suggeriert, die schlichtweg falsch sind. Vielleicht hätte ich mein Mathestudium doch nicht abbrechen sollen. Aber irgendwie bin ich nicht der Einzige, der sich damit verhoben hat (Link).

---------------------------------------------- Abkürzungen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Flex - Flexibilität a ○ (b ○ a) = (a ○ b) ○ a a, b ∈ M
       Linksalternativität a ○ (a ○ b) = (a ○ a) ○ b a, b ∈ M
       Rechtsalternativität a ○ (b ○ b) = (a ○ b) ○ b a, b ∈ M
Alt - Alternativität Linksalternativität ∧ Rechtsalternativität  
A - Assoziativität a ○ (b ○ c) = (a ○ b) ○ c a, b, c ∈ M
K - Kommutativität a ○ b = b ○ a (D-Symmetrie) a, b ∈ M
P - Idempotenz a ○ a = a (Diagonale = x = y) a ∈ M
lD - Linksdistributivität a • (b + c) = a • b + a • c a, b, c ∈ M
rD - Rechtsdistributivität (a + b) • c = a • c + b • c a, b, c ∈ M
D - Distributivität lD ∧ rD  
lN - linksneutrales Element lN ○ a = a (1. Zeile = x) lN, a ∈ M
rN - rechtsneutrales Element a ○ rN = a (1. Spalte = y) rN, a ∈ M
N - neutrales Element lN ∧ rN (z.B. N+ = 0, N = 1)  
lI - linksinverses Element lI ○ a = N lI, N, a ∈ M
rI - rechtsinverses Element a ○ rI = N rI, N, a ∈ M
I - inverses Element lI ∧ rI (selbst invers → N in Diagonale)  
lÜ - linkskürzbares Element lÜ ○ a = lÜ ○ b → a = b (Zeile unique) lÜ, a, b ∈ M
rÜ - rechtskürzbares Element a ○ rÜ = b ○ rÜ → a = b (Spalte unique) rÜ, a, b ∈ M
Ü - kürzbares Element lÜ ∧ rÜ (K ⇒ lÜ = rÜ = Ü)  
lB - linksabsorbierendes Element lB ○ a = lB (Zeile = lB) lB, a ∈ M
rB - rechtsabsorbierendes Element a ○ rB = rB (Spalte = rB) rB, a ∈ M
B - absorbierendes Element lB ∧ rB (z.B. 0 • a = 0 = a • 0)  
lT - Linksnullteiler lT • a = N+ lT, a ∈ M \ {N+}
rT - Rechtsnullteiler a • rT = N+ rT, a ∈ M \ {N+}
T - Nullteiler lT ∧ rT (Ring ⇒ Ü ↔ ¬T)  


Orthogonalität   Skalarprodukt der Vektoren v, w ist gleich 0
Dualität             Vertauschung der Verknüpfungen & neutralen Elemente

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------------------------------------------ algebraische Strukturen -------------------------------------------------------------------------------------------------------
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In den Bäumen fett gedruckte Wörter markieren Graphenkanten die im Baum nicht darstellbar sind.

Pseudo-Magma
Magma (Gruppoid)
Quasigruppe (lateinisches Quadrat)
kommutative Quasigruppe
Quasigruppe mit Inverseneigenschaft
Loop
  • partielle Funktionen
    • Totalität des Definitionsbereichs (hat Basis → frei)
      • + Ü (Teilbarkeit, Eindeutigkeit der Verknüpfung)
        • + K
        • + I
        • + N(l|r)I

--------------- Halbgruppen / Halbverbände -- ab hier Assoziativität A (außer Alternativring und Ternärkörper) -----------------------------------------

Halbgruppe (assoziatives Magma)
abelsche Halbgruppe
(links|rechts)kürzbare Halbgruppe
kürzbare (reguläre) Halbgruppe
Halbgruppe mit (l|r)neutralem Element
Monoid
abelsches Monoid
Band (idempotente Halbgruppe)
kommutatives Band (Halbverband)
beschränkter Halbverband
residuated Halbverband
Infimum-Halbverband
Supremum-Halbverband
vollständiger Halbverband
  • A - Magma
    • + K
    • + (l|r)Ü
      • + Ü - Quasigruppe
    • + (l|r)N (hat Basis → frei)
      • + N (hat Basis → frei) - kann invertierbare Eilemente (Einheiten) enthalten (z.B. Klasse der Ordinalzahlen)
        • + K (hat Basis → frei)
    • + P
      • + K
        • + N - abelsches Monoid
        • + besteht zusätzlich aus einem Monoid
        • + jede nichtleere Teilmenge besitzt ein Infimum
        • + jede nichtleere Teilmenge besitzt ein Supremum
          • + Infimum-Halbverband

------------------------------------------ Verbände (zwei Verknüpfungen) ---------------------------------------------------------------------------------------------

Verband
residuated Verband
beschränkter Verband
komplementärer Verband
orthokomplementärer Verband
orthomodularer Verband
bedingt vollständiger Verband
vollständiger Verband
algebraischer Verband
längenendlicher Verband
schwach semimodularer Verband
semimodularer Verband
Matroidverband
geometrischer Verband
modularer Verband
projektiver Verband
distributiver Verband
linear geordnete Menge
Heyting-Algebra
vollständige Heyting-Algebra
boolesche Algebra
modale Algebra
interior Algebra
monadische boolesche Algebra
  • 2x AKP - 2x Halbverband (endliche ∧ nichtleere → vollständig)
    • + 2x residuated Halbverband
    • 2x ANBKP - 2x beschränkter Halbverband - N sind das kleinste (0) und das größte (1) Element
      • + Komplementarität ∀a∃b: a ∧ b = 0, a ∨ b = 1    0, 1, a, b ∈ M
        • + a ∨ a = 1, a ∧ a = 0, a⊥⊥ = a, a ≤ b → a ≥ b, erfüllen De Morgansche Regeln
          • + a ≤ c → a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c bzw. a ≤ c → a ∨ (a ∧ c) = c
      • + jede nichtleere nach unten bzw. oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Infimum bzw. Supremum
        • + 2x vollständiger Halbverband
          • + jedes Element ist das Supremum von kompakten Elementen
          • + jede linear geordnete Teilmenge ist endlich
    • + a bedeckt a ∧ b und b bedeckt a ∧ b → a ∨ b bedeckt a und a ∨ b bedeckt b (endlich → semimodular)
      • + a bedeckt a ∧ b → a ∨ b bedeckt b (endlich ∧ dual semimodular → modular)
        • + atomar, algebraisch - zu (einfachen) Matroiden äquivalent
          • + endlich, komplementär
        • + Modularität x ≤ b → x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ b bzw. (x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [(x ∧ b) ∨ a] ∧ b
          • + geometrisch - schnittstetig
          • 2x AKPD (endlich → Heyting-Algebra)
            • + Verknüpfungen Maximum und Minimum (Anzahl ≤ 2 ↔ komplementär) (beschränkt → Heyting-Algebra)
            • + beschränkt, residuated - mit relativen Pseudokomplementen (Anzahl = 1 ↔ ∃a: a = ¬a)
              • + vollständig - zentraler Gegenstand der punktfreien Topologie (z.B. offene Mengen eines topologischen Raumes)
              • + orthomodular - und regulär (¬¬a = a) ⟨M, ∧, ∨, ¬, 0, 1⟩
                • + einstelliger Modal-Operator ⟨M, ∧, ∨, ¬, 0, 1, ▢⟩
                  • + interior: 1I = 1, xI ≤ x, xII = xI, (x∧y)I = xI∧yI dual closure: 0C = 0, xC ≥ x, xCC = xC, (x∨y)C = xC∨yC
                    (S4)
                    • + ∀1 = 1, ∀x ≤ x, ∀(x∧y) = ∀x∧∀y, ∀x∨∀y = ∀(x∨∀y) dual ∃0 = 0, ∃x ≥ x, ∃(x∨y) = ∃x∨∃y, ∃x∧∃y = ∃(x∧∃y)                             (S5)

------------------- Gruppen -- ab hier Kürzbarkeit Ü (außer Nullteiler T in Ringen und Körpern) ---------------------------------------------------------------

Gruppe G
Normalteiler
Kommutatorgruppe K(G)
perfekte Gruppe
Faktorgruppe
Idealklassengruppe Cl(K)
auflösbare Gruppe
nilpotente Gruppe
einfache Gruppe
endliche einfache Gruppe
dedekindsche Gruppe
hamiltonsche Gruppe
abelsche Gruppe
triviale Gruppe
zyklische Gruppe Cn
alternierende Gruppe An
A4-Gruppe
A5-Gruppe
symmetrische Gruppe Sn
S3-Gruppe
S4-Gruppe
Diedergruppe Dn
kleinsche Vierergruppe V4 ≅ D2
dizyklische Gruppe Dicn
Quaternionengruppe Q8 ≅ Dic2
p-Gruppe
endliche p-Gruppe
abelsche p-Gruppe
elementar abelsche Gruppe
endliche elementar abelsche Gruppe
Symmetriegruppe
Galoisgruppe
kristallographische Raumgruppe
ebene kristallographische Gruppe
Sohncke-Raumgruppe
Einheitengruppe Eg
topologische Gruppe
proendliche Gruppe
algebraische Gruppe
abelsche Varietäte
elliptische Kurve
Lie-Gruppe
euklidische Bewegungsgruppe E(n)
orthogonale Gruppe O(n)
Drehgruppe SO(n)
Drehspiegelungen O(n) \ SO(n)
unitäre Gruppe U(n)
spezielle unitäre Gruppe SU(n)
halbeinfache Lie-Gruppe
einfache Lie-Gruppe
symplektische Gruppe Sp(n)
allgemeine lineare Gruppe GL(n,K)
spezielle lineare Gruppe SL(n,K)
projektive lineare Gruppe PGL(n,V)
spezielle projektive Gruppe PSL(n,K)
  • G := ANI - Monoid, Loop (hat Basis → frei)
    • + Kern (Urbild von N) eines Gruppenhomomorphismus
      • + Untergruppe aller Kommutatoren (misst die Nichtkommutativität von zwei Elemente) einer Gruppe - K(Sn) = An für n > 1, K(An) = An für n > 4, K(A4) = D2, K(abelsch) = {N}
        • + Kommutatorgruppe der Gruppe ist gleich der Gruppe, deshalb nicht abelsch - An für n > 4, SL(2,𝔽5)
    • + G / Normalteiler = alle Nebenklassen bezüglich Normalteiler
      • + misst die Differenz zwischen beliebigen Idealen und Hauptidealen in einem Dedekindring R mit Quotientenkörper K (K algebraisch → (R faktoriell ↔ 1), K quadratisch → endlich)
    • + hat Subnormalreihe mit abelschen Faktorgruppen
    • + absteigende Zentralreihe endet bei {N} an = N für a ∈ G (endlich → direktes Produkt von endlich vielen p-Gruppen)
    • + besitzt nur die triviale Gruppe und sich selbst als Normalteiler (¬K → perfekt)
    • + jede Untergruppe ist Normalteiler
      • + ¬K - (endlich → Q8 × G × (C2)n wobei G eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist)
      • + K - nilpotent - (endlich → direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen) (freiprojektivtorsionsfreiflach)
        • + {N}
        • + additive Gruppe eines Restklassenrings - C1 = S1 = A2 = {N}     C2 ≅ S2 ≅ D1 ≅ O(1)    C3 ≅ A3    C4 ≅ Dic1
    • + n ≤ 3 abelsch, Ordnung n!/2 - Gruppe aller geraden Permutationen - n < 5 auflösbar - A6 ≅ PSL(2,9)    A8 ≅ GL(4,2) ≅ PGL(4,2) ≅ PSL(4,2)
      • + Gruppe der Drehungen des regelmäßigen Tetraeders - 12 Elemente - K(A4) = D2, A4/D2 ≅ A3, A4 ≅ PSL(2,3) - Untergruppen D2 A3 C2 {N}
      • + einfach - Gruppe der Drehungen des Ikosaeders - 60 Elemente - A5 ≅ PSL(2,4) ≅ PSL(2,5) - kleinste nichtabelsche einfache und kleinste nicht auflösbare Gruppe
    • + n ≤ 2 abelsch, Ordnung n! - Gruppe aller Permutationen -  (n < 5 ? auflösbar : enthält einen einfachen nicht-zyklischen Normalteiler z.B. A5)
      • + Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks - 6 Elementen - S3 ≅ D3 ≅ GL(2,2) ≅ SL(2,2) ≅ PGL(2,2) ≅ PSL(2,2) - kleinste nichtabelsche Gruppe
      • + Symmetriegruppe des regelmäßigen Tetraeders - 24 Elementen - Untergruppen A4 D4 S3≅D3 C4 D2 C3≅A3 C2≅S2≅D1 C1=S1=A2={N}
    • + n ≤ 2 abelsch, Ordnung 2n - enthält n Drehungen und n Spiegelungen - (n = 2rnilpotent)
      • + abelsch - kleinste nicht-zyklische Gruppe
    • + n = 1 abelsch, Ordnung 4n - Erweiterung zyklischer Gruppen
      • + Basis {1,i,j,k} des reellen Vektorraum der Quaternionen, Untergruppe von GL(2,ℂ) - kleinste hamiltonsche Gruppe
    • p prim - die Ordnung jedes Elements ist pn
      • + nilpotent, auflösbar - (z.B. p2 isomorph zu Cp2 oder Cp × Cp)
      • + K - (z.B. abelsch aber nicht elementar abelsche Gruppe Cp2)
        • + jedes Element außer N hat Ordnung p - jede Untergruppe und Faktorgruppe ist elementar abelsch - isomorph zu (V,+) ℤ/pℤ-Vektorraum über Körper ℤ/p
          • + endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung (z.B. Cp oder Cp × Cp)
    • + Untergruppe einer symmetrischen Gruppe
    • + Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente eines Ring mit 1
    • + stetige Gruppe
      • + kompakt, total unzusammenhängend - proendliche Vervollständigung einer Gruppe (z.B. ganze p-adische Zahlenp, proendlichen Zahlen)
      • + über algebraischen Varietäten über einem Körper - (z.B. GL(n,K) Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen)
        • + vollständig, zusammenhängend - Gruppenvarietät
          • + glatte algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene
      • + glatte Mannigfaltigkeit - zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien
        • + Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum - (Punkt-, Achsen-, Ebenen-)Spiegelung, Drehung, Translation, Gleitspiegelung, Schraubung und Drehspiegelung
        • + kompakt, orthogonale n × n Matrizen - über reellem n-dimensionalen euklidischen Vektorraum - Dimension n(n-1)/2 - Untergruppe von GL(n,ℝ)
          • + det = 1 - Kreisgruppe - maximal kompakte Untergruppe von SL(n,ℝ)
          • + det = -1
        • + unitäre n × n Matrizen - über komplexem n-dimensionalen Hilbertraum - Dimension n2 - Untergruppe von GL(n,ℂ)
          • + det = 1, kompakt, einfach - Dimension n2-1 - Zentrum Z isomorph zu Cn - maximal kompakte Untergruppe von SL(n,ℂ)
        • + zusammenhängend - direktes Produkt endlich vieler einfacher Lie-Gruppen - es gibt keine nicht-trivialen auflösbaren oder abelschen Untergruppen
          • + einfach - (z.B. SL(n,ℝ), SL(n,ℂ), SO(n), SU(n))
            • + kompakt, einfach zusammenhängend - (invertierbare) lineare Abbildungen auf n-dimensionalem quaternionischen Vektorraum - Dimension n(2n+1)
      • + Gruppe der regulären (n x n)-Matrizen über einem Körper K, GL(n,2) ≅ PGL(n,2) ≅ PSL(n,2) (über ℝ oder ℂ → Lie-Gruppe)
        • + det = 1 - Faktorgruppe GL(n,K)/SL(n,K) ist Einheitengruppe von K - beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen
      • + über einem Vektorraum V über K, ist Faktorgruppe GL(n,V)/Z(GL(n,V)) (z.B. Möbiustransformationen PGL(2,ℂ)) (über ℝ oder ℂ → Lie-Gruppe)
        • + ist Faktorgruppe SL(n,K)/Z(SL(n,K)) - außer PSL(2,2) ≅ S3 und PSL(2,3) ≅ A4 einfache Gruppen

-------------------- Ringe -- ab hier Distributivität D von zwei Verknüpfungen (außer Ternärkörper) ---------------------------------------------------------

Halb(links|rechts)fastring
abelscher Halb(links|rechts)fastring
(Links|Rechts)fastring
abelscher (Links|Rechts)fastring
distributiver Fastring
kommutativer Fastring
distributiver Halbfastring
kommutativer Halbfastring
Halbring (abelscher Halbfastring)
kommutativer Halbring
Hemiring
kommutativer Hemiring
Bewertungshalbring
kommutativer Bewertungshalbring
Dioid
kommutatives Dioid
  • (l|r)D A - A - 2x Halbgruppe
    • (l|r)D AK - A
    • (l|r)D G - A
      • (l|r)D GK - A - abelscher Halb(links|rechts)fastring
      • D G - A (idempotent → kommutativ)
        • D G - AK[P]
    • D A - A (idempotent → kommutativ)
      • D A - AK[P]
      • D AK - A - abelscher Halb(links|rechts)fastring (idempotent → kommutativ)
        • D AK - AK[P] - kommutativer Halbfastring
        • D ANBK - A
          • D ANBK - AK[P] - kommutativer Halbring
          • D ANBK - AN
            • D ANBK - ANK[P] - kommutativer Hemiring
              (z.B. natürliche Zahlen ℕ, Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke)
            • D ANBKP - AN       
              • D ANBKP - ANK[P] - kommutativer Bewertungshalbring
                (z.B. natürliche Zahlen ℕ, unendliche Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke und 0 und 1)
 
Alternativring
Ring R
Gegenring
Ring mit 1
unitärer Ring
Monoidring R[G]
Polynomringe R[X]
Faktorring (Quotientenring)
Restklassenring ℤ/nℤ
Matrizenring
(l|r)noetherscher Ring
noetherscher Ring

semiperfekter Ring
(l|r)artinscher Ring
artinscher Ring
lokaler Ring
noetherscher lokaler Ring
regulärer lokaler Ring
kommutativer Ring
kommutativer Ring mit 1
boolescher Ring
Integritätsring
normaler Integritätsring
Dedekindring
Ganzheitsring
faktorieller Ring
Hauptidealring
diskreter Bewertungsring
euklidischer Ring
topologischer Ring
  • D GK -  Alt - abelsche Gruppe + Quasigruppe
    (z.B. Oktonionen)
    • D GK - A - Halbring, distributiver Fastring, abelscher (Links|Rechts)fastring (idempotent → kommutativ)
      • + vertauschte Faktoren bei der Multiplikation
      • D GK - A(l|r)N
        • D GK - AN - Bewertungshalbring
          • + kommutativer Ring mit 1 K und ein Monoid G (G kommutativ → kommutativ)
            • + Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus R und der Variablen X (R Integritätsring → Faktorring, R Körper → faktoriell)
          • + R/I - R ist Ring mit 1 und I ist Ideal von R - bildet Äquivalenzklassen modulo I (I ist PrimidealR/I ist Integritätsring, I ist maximales IdealR/I ist Körper)
            • + n > 1 - über ganzen Zahlen (n prim → ohne T → endlicher Restklassenkörper 𝔽p)
          • + Menge quadratischer Matrizen über einen Ring mit 1 mit Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation
          • + als R-(Links|Rechts)modul noethersch (kommutativ → noethersch)
            • + jede unendliche aufsteigende Kette von Untermoduln wird stationär (alle Untermodule/Ideale sind endlich erzeugt)         (z.B. ganze Zahlen ℤ)
          • + jeder endlich erzeugte (Links|Rechts)modul hat eine projektive Decke
            • + noethersch - ist artinsch als (Links|Rechts)modul
              • + ist links und rechtsartinsch (endlich viele maximale Ideale) (Primideal → maximal)
            • + es gibt genau ein maximales Links- oder Rechtsideal
              • + noethersch
                • + faktoriell - mit endlicher globale Dimension
      • D GK - AK[P] - kommutativer Halbring, kommutativer Fastring
        • D GK - ANK[P] (mit|ohne) Tunitär, kommutativer Bewertungshalbring - (Eg = R\N → Körper, Komplement der Eg ist ein Ideal → lokal, noethersch + dim=0 → artinsch)
      • + Addition ist topologische Gruppe, Multiplikation ist in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig

-------------------------------------------- Körper ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Halbkörper
kommutativer Halbkörper
Halbkörper mit 0
kommutativer Halbkörper mit 0
  • D AK - G - Halbring
    • D AK - GK - kommutativer Halbring
      (z.B. positive Brüche)
    • D ANBK - G - Hemiring
      • D ANBK - GK - kommutativer Halbkörper, komm. Bewertungshalbring         (z.B. positive Brüche mit 0)
 
Ternärkörper
linearer Ternärkörper
kartesische Gruppe
kartesische Gruppe + A
(Links|Rechts)quasikörper
(Links|Rechts)fastkörper
geometrischer Halbkörper
nichtkommutative Jordan-Algebra
Alternativkörper
Schiefkörper (Divisionsring)
Körper K
Quotientenkörper quot(K)
rationaler Funktionenkörper K(X)
Erweiterungskörper L/K
Restklassenkörper
Primkörper
algebraischer Zahlkörper
galoisscher Erweiterungskörper
Kreisteilungskörper ℚ(μn)
quadratischer Zahlkörper ℚ(√z)
reellquadratischer Zahlkörper
imaginärquadratischer Zahlkörper
transzendenter Erweiterungskörper
rein transzendenter Erweiterungskörper
Funktionenkörper
globaler Körper
lokaler Körper
formal reelle Körper
geordneter Körper
pythagoreischer Körper
formal reeller pythagoreischer Körper
euklidischer Körper
reell abgeschlossenen Körper
archimedisch geordneter euklidischer Körper
reell abgeschl. archimed. geord. euklid. Körper
topologischer Körper
  • dreistellige Verknüpfung - Koordinatenbereich einer affinen Ebene
    • + Ternärverknüpfung kann durch eine Addition (N(l|r)I) und eine Multiplikation (N(l|r)I) dargestellt werden
      • (l|r)D G - N(l|r)I - Gruppe + Loop
        • (l|r)D G - AN(l|r)I
        • (l|r)D GK - N(l|r)I - Koordinatenmenge einer affinen Translationsebene
          • (l|r)D GK - G - assoziative kartesische Gruppe
          • D GK - NI
            • D GK - FlexNI - Jordan-Identität
              (z.B. Sedenionen 𝕊)
              • D GK - AltNI (endlich → Körper)
                (z.B. Oktonionen 𝕆)
                • D GK - G - Fastkörper, Halbkörper mit 0, unitärer Ring (endlich → Körper)
                  (z.B. Quaternionen ℍ, rationale Quaternionen)
                  • D GK - GK - komm. Halbkörper mit 0, Integritätsring
                    • + Obermenge eines Integritätsrings (z.B. ℚ = quot(ℤ))
                      • + Quotientenkörper eines Polynomringe K[X] über einem Körper K, Körpererweiterung K(X)/K ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich
                    • + KL
                      • + Restklassenring - R/m Faktorring eines Rings R mit maximalen Ideal m (z.B. endlich und prim 𝔽p = ℤ/pℤ, R lokaler Ring mit nur einem mR/m eindeutig)
                      • + Durchschnitt aller Teilkörper eines Körpers - (Charakteristik 0 → isomorph zu ℚ, Charakteristik prim → isomorph zu 𝔽p)
                      • + endliche algebraische Erweiterungen von ℚ
                        (z.B. 𝔸 nicht da unendliche Erweiterung von ℚ)
                        • + Fixkörper der K-Automorphismengruppe Aut⁡(L/K) gleich K bzw. Aut⁡(L/K) ist Galoisgruppe des Erweiterungskörpers L/K (z.B. ℚ(√2)/ℚ)
                        • + n > 2 - entsteht durch Adjunktion der Menge aller n-ten Einheitswurzeln (z.B. ℚ(μ3) = ℚ(μ6) = ℚ(√-3), ℚ(μ4) = ℚ(i))
                        • + quadratische Erweiterung von ℚ - z ist eine von 0 und 1 verschiedene quadratfreie ganze Zahl
                      • + z.B. ℚ(√-3,e) mit Transzendenzgrad 1, ℂ/ℚ oder ℝ/ℚ mit Transzendenzgrad der Mächtigkeit des Kontinuums
                    • + algebraische Zahlkörper oder Funktionenkörper positiver Charakteristik (über einem endlichen Körper) vom Transzendenzgrad 1
                    • + vollständig - Vervollständigungen von globalen Körpern (Charakteristik 0 → (archimedisch ? isomorph zu ℝ|ℂ : endliche algebraische Erweiterungen von ℚp))
                    • + -1 lässt sich nicht als endliche Summe von Quadraten schreiben
                    • + Summe von zwei Quadratzahlen ist eine Quadratzahl
                      (z.B. komplexe ℂ, algebraische Zahlen 𝔸)
                      • + formal reell - -1 hat keine Quadratwurzel
                        • + geordnet - jedes Element von K\{0} ist entweder eine Quadratzahl oder das Negative einer Quadratzahl
                    • + topologischer Ring - multiplikative Inversenbildung ist stetig

----------------------------------------- Vektorräume / Algebren ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

(Links|Rechts)modul
Modul
unitärer Modul
artinscher Modul
R-Algebra
Koalgebra
unitäre Algebra
assoziative Algebra
kommutative Algebra
genetische Algebra
Lie-Algebra g
abelsche Lie-Algebra
nilpotente Lie-Algebra
auflösbare Lie-Algebra
einfache Lie-Algebra
halbeinfache Lie-Algebra
allgemeine lineare Lie-Algebra
Vektorraum V
K-Algebra
lineare Algebra
Faktor-/Quotientenraum
Komplementär-/Orthogonalraum
Matrizenraum
  • Vektoraddition (GK) & (linke|rechte) Skalarmultiplikation (AD) über einem nicht (unbedingt) kommutativen Ring mit 1
    • + linke+rechte Skalarmultiplikation über einem kommutativen Ring mit 1 (endlich → artinsch, hat Basis → freiprojektiv)
      • + das neutrale Element der Ring-Multiplikation ist gleichzeitig das neutrale Element der Skalarmultiplikation
      • + jede absteigende Folge von Untermodulen wird stationär
      • + bilineare Verknüpfung ("Multiplikation") - jeder Ring ist eine ℤ-Algebra, jeder kommutative Ring ist eine R-Algebra über sich selbst (z.B. Polynomringe R[X])
        • + zu einer Algebra duale Struktur
        • + mit einem neutralen Element der "Multiplikation"
        • + "Multiplikation" ist assoziativ (z.B. ℂ über ℝ, ℍ über ℝ) (Kommutator [x, y] = xy - yx → Lie-Algebra)
        • + "Multiplikation" ist kommutativ
          • + zur mathematischen Modellierung von Vererbungen in der Genetik
        • + Verknüpfung (Lie-Klammer) genügt der Jacobi-Identität und dem Flexibilitätsgesetz (z.B. ℝ3 + Kreuzprodukt)
          • + Lie-Klammer [x,x] = {N}
          • + absteigende Zentralreihe Cn+1 = [g,Cng] endet bei {N}
          • + abgeleitete Reihe Dn+1 = [Dng,Dng] endet bei {N}
          • + hat kein nicht-triviales Ideal und ist nicht abelsch
          • + ist direkte Summe von einfachen Lie-Algebren
          • + linear - Kommutator [x, y] = xy - yx, (Algebra-)Multiplikation [x, x] = [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
      • + über einem Körper - (über ℝ oder ℂ mit SkalarproduktPrähilbertraum)
        • R-Algebra
          • + lineare Abbildungen zwischen im allgemeinen zwei Vektorräumen über demselben Körper
            • + Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraumes, Menge aller Äquivalenzklassen V/U von V nach U
            • + schneidet einen vorgegebenen Unterraum von V nur im Nullpunkt so dass UW = {0} und U + W = V
        • + isomorph zum Raum linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen -
                            ((n x n)-Matrizen + Matrizenmultiplikation → assoziative Algebra, über ℝ oder ℂ mit SkalarproduktHilbertraum)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------- topologische Räume -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
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topologischer Raum
zusammenhängender Raum
wegzusammenhängender Raum
einfach zusammenhängender Raum
zusammenziehbarer Raum
lokal zusammenhängender Raum
lokal wegzusammenhängender Raum
semilokal einfach zusammenhängender Raum
lokal einfach zusammenhängender Raum
total unzusammenhängender Raum
  • (X, T)
    • + kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene bzw. abgeschlossene Mengen zerlegt werden
      • + alle paarweise verschiedenen Punkte sind über einen Weg verbunden (0-zusammenhängend)
        • + jeder geschlossene Weg lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen, nullhomotop (z.B. n-Sphären mit festem Radius)
          • + ist homotopieäquivalent zu einem Punkt (Gegenbeispiel: n-Sphären mit festem Radius)
    • + es gibt zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes
      • + jeder Punkt besitzt eine lokale Umgebungsbasis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen (zusammenhängend → wegzusammenhängend)
        • + jeder Punkt besitzt eine Umgebung U, so dass sich jede Schleife in U im Raum zusammenziehen lässt
          • + jede Umgebung eines Punktes enthält eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung
    • + es gibt neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen
 
topologischer Raum
R0-Raum (R0)
präregulärer Raum (R1)
regulärer Raum
Kolmogoroff-Raum (T0)
T1-Raum (T1)
normaler Raum
vollständig normaler Raum
perfekt normaler Raum
Hausdorff-Raum (T2)
Urysohn-Raum (T2½)
vollständiger Hausdorff-Raum
regulärer Hausdorff-Raum (T3)
Tichonow-Raum (uniformisierbar) (T3½)
Niemytzki-Raum
Sorgenfrey-Ebene
normaler Hausdorff-Raum (T4)
vollständig normaler Hausdorff-Raum (T5)
perfekt normaler Hausdorff-Raum
  • (X, T)
    • + je zwei (topologisch) unterscheidbare Punkte sind getrennt
      • + zwei unterscheidbare Punkte sind durch offene Umgebungen getrennt (lokalkompakt → T3½, kompakt → T4)
        • + jeder Punkt x ist von jeder abgeschlossenen Menge F, die x nicht enthält, durch Umgebungen getrennt (T0 → T3)
    • + alle paarweise verschiedenen Punkte sind topologisch unterscheidbar
      • + R0 - je zwei verschiedene Punkte sind getrennt, jede einelementige Menge ist abgeschlossen
        • + zwei abgeschlossene disjunkte Mengen haben disjunkte offene Umgebungen, dim(X) ≤ Ind(X) (dim(X)=0 ↔ Ind(X)=0 → ind(X)=0) (T2 → T4)
          • + zwei getrennte Mengen sind immer durch Umgebungen getrennt (T2 → T5)
            • + zwei disjunkte abgeschlossene Mengen sind scharf durch eine Funktion getrennt (T2 → perfekt normaler Hausdorff-Raum)
        • + R1 - je zwei verschiedene Punkte sind durch offene Umgebungen getrennt (A2 → (regulär vollständig regulär ↔ normal ↔ metrisierbar))
          • + je zwei verschiedene Punkte sind durch abgeschlossene Mengen getrennt
            • + zwei verschiedene Punkte sind durch eine Funktion getrennt
            • + regulär (z.B. Mysior-Ebene (nicht T3½))
              • + vollständiger Hausdorff-Raum - besitzt hinreichend viele stetige Funktionen, um abgeschlossene Mengen von außerhalb liegenden Punkten zu trennen
                • + separabel, A1 - besitzt nicht-separablen Teilraum, nicht A2, nicht normal, nicht lokalkompakt
                • + separabel, A1, total unzusammenhängend - besitzt nicht-separablen Teilraum, nicht A2, nicht normal, nicht diskret, nicht metrisierbar
                • + normal
                  • + vollständig normal
                    • + perfekt normal
 
topologischer Raum
uniformer Raum
vollständig uniformer Raum
pseudometrischer Raum
prämetrischer Raum
quasimetrischer Raum
null-dimensionaler Raum
allgemeiner Baire-Raum
lokalkompakter Raum
lokalkompakter Hausdorff-Raum
erstabzählbarer Raum (A1)
parakompakter Raum
Lindelöf-Raum
kompakter Raum
endlicher Raum
parakompakter Hausdorff-Raum
kompakter Hausdorff-Raum
Stone-Raum (boolescher Raum)
separabler Raum
zweitabzählbarer Raum (A2)
metrisierbarer Raum
ultrametrisierbarer Raum
vollständig metrisierbarer Raum
polnischer Raum
effektiver polnischer Raum
perfekter polnischer Raum
spezieller Baire-Raum
Cantor-Raum
metrischer Raum
kompakter metrischer Raum
ultrametrischer Raum
diskreter Raum
abzählbar unendlicher diskreter Raum
endlicher diskreter Raum
vollständiger Raum
  • (X, T)
    • T3½ - uniforme Struktur, die erlaubt Umgebungen an verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen
      • + jeder Cauchyfilter konvergiert bzw. jedes Cauchynetz konvergiert und äquivalente Cauchynetze haben denselben Grenzwert
      • + normal - Symmetrie und Dreiecksungleichung (separabel → A2)
      • + Nicht-Negativität einer Metrik (Abstandsfunktion) und positive Definitheit
        • + Dreiecksungleichung
    • + (Hausdorff-Raum → total unzusammenhängend, kompakter Hausdorff-Raum → (dim(X)=0 ↔ Ind(X)=0 ↔ ind(X)=0 ↔ total unzusammenhängend))
    • + Durchschnitt abzählbar vieler offener, dichter Teilmengen ist dicht
    • + jede Umgebung eines jeden Punktes enthält eine kompakte Umgebung (metrisch abzählbar unendlich → polnisch, total unzusammenhängend → null-dimensional)
      • + T3½, allgemeiner Baire-Raum - sind genau die offenen Unterräume kompakter Hausdorff-Räume
    • + jeder Punkt hat eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis
    • + jede offene Überdeckung besitzt eine lokal endliche offene Verfeinerung, abgeschlossene Unterräume sind parakompakt
      • + jede offene Überdeckung besitzt eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung
        • + jede offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung
          • + endlich
      • + T4
        • + kompakt, lokalkompaktuniform - (zusammenhängend → Kontinuum z.B. Hilbertwürfel) (A2 → polnisch)
          • + total unzusammenhängend, null-dimensional - ist dual zur booleschen Algebra der offenen-abgeschlossenen Mengen
        • + eine höchstens abzählbare Teilmenge liegt dicht in diesem Raum
          • + A1, Lindelöf-Raum - hat eine höchstens abzählbare Basis der Topologie, jede Teilmenge ist zweitabzählbar
        • + A1 - ist homöomorph zu einem metrischen Raum, dim(X)Ind(X) (Lindelöf-Raum → A2, separabel → A2, kompakt → polnisch)
          • + total unzusammenhängend
          • + allgemeiner Baire-Raum - ist homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum (lokalkonvexer Raum → Fréchet-Raum)
            • + A2 - hat abzählbare Basis, abgeschlossene Unterräume sind polnisch
              • + besitzt eine berechenbare Repräsentation
              • + perfekte Menge - es gibt keine isolierten Punkte
                • + ultrametrisierbar, allgemeiner Baire-Raum
                • + ultrametrisierbar, Stone-Raum - Raum aller Folgen auf der Menge {0,1}, ist homöomorph zur Cantor-Menge
          • quasimetrischer Raum, Symmetrie - zuordenbare Hausdorff-Dimension (separabel → A2)
            • + kompakt, polnisch - (zusammenhängend → metrisches Kontinuum z.B. [0,1] ⊂ ℝ)
            • + ultrametrisierbarer Raum - verschärfte Dreiecksungleichung (gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis)
            • + lokalkompakt, total unzusammenhängend, null-dimensional - alle Punkte sind isoliert, für jeden Punkt x ist die Menge {x} offen
              • + polnisch, abzählbar unendlich
                • + kompakt, endlich
            • + jede Cauchy-Folge konvergiert

------------------------------------------------ Mannigfaltigkeiten --------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mannigfaltigkeit
differenzierbare Mannigfaltigkeit
exotischer 4-Raum
glatte Mannigfaltigkeit
fastkomplexe Mannigfaltigkeit
komplexe Mannigfaltigkeit
riemannsche Fläche
riemannsche Zahlenkugel
pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit
einsteinsche Mannigfaltigkeit
lorentzsche Mannigfaltigkeit
Minkowski-Raum
riemannsche Mannigfaltigkeit
zusammenhängende riemann. Mannigfaltigkeit
symmetrischer Raum
vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit
hyperbolischer Raum
flache riemannsche Mannigfaltigkeit
  • metrisierbarer Raum, A2, lokal wegzusammenhängend - ist lokal homöomorph zum euklidischen Raum ℝn (endlichdimensional → lokalkompakt)
    • + differenzierbar - lokal diffeomorph zum euklidischen Raum ℝn (dim≠4 → (homöomorph zu ℝn → diffeomorph zu ℝn))
      • + dim=4 - ¬(homöomorph zu ℝn → diffeomorph zu ℝn)
      • + glatte Struktur
        • + fastkomplexe Struktur - (komplex-eindimensional → riemannsche Fläche)
          • + komplexe Struktur - mit Modellraum ℂn, Kartenwechselhomöomorphismen sind biholomorph
            • + projektive Varietät, wegzusammenhängend - komplex-eindimensional
              • + kompakt, einfach zusammenhängend - Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit
      • + mit pseudo-riemannsche Metrik

------------------------------------------------ topologische Vektorräume / Algebren ---------------------------------------------------------------------------------

topologischer Vektorraum
lokalkonvexer Raum
metrisierbarer lokalkonvexer Raum
Fréchet-Raum
normierbarer Raum
normierter Raum
Banachraum
Prähilbertraum (Skalarproduktraum)
Hilbertraum
euklidischer Raum
kompakter euklidischer Raum
unitärer Raum
topologische Algebra
lokalkonvexe Algebra
LMC-Algebra
Fréchet-Algebra
normierte Algebra
Banachalgebra
involutive Banachalgebra
C*-Algebra
von-Neumann-Algebra
  • Vektorraum, topologischer Raum - (T0 → T2)
    • + jeder Punkt verfügt über beliebig kleine konvexe Umgebungen, jede Nullumgebung ist absolutkonvex und absorbierend
      • + metrisierbarer Raum - hat abzählbare Nullumgebungsbasis
        • + vollständiger Raum - besitzt einer abzählbaren Nullumgebungsbasis
        • + es gibt eine beschränkte Nullumgebung
          • + metrischer Raum - Norm (endlichdimensional über ℝ oder ℂ → lokalkompakt)
            • + Fréchet-Raum
            • + Skalarprodukt (K AD mit Skalarmultiplikation) (endlichdimensional → vollständig → Hilbertraum)
              • + Banachraum (endlichdimensional → euklidisch)
              • zusammenziehbar, differenzierbare Mannigfaltigkeit - reel (endlichdimensional → flache riemannsche Mannigfaltigkeit)
                • + abgeschlossen und beschränkt auf ℝn
              • zusammenziehbar, komplexe Mannigfaltigkeit - komplex (endlichdimensional → flache riemannsche Mannigfaltigkeit)
    • + Addition, Multiplikation und skalare Multiplikation sind stetig

------------------------------------------------ Inzidenzstrukturen -------------------------------------------------------------------------------------------------------

Inzidenzstruktur
einfache Inzidenzstruktur
ausgeartete Inzidenzstruktur
endliche Inzidenzstruktur
taktische Konfiguration
verallgemeinertes Viereck
Blockplan
affiner Blockplan
diskretes Netz
Wittscher Blockplan
Hadamard-3-Blockplan
symmetrischer Blockplan
Hadamard-2-Blockplan
Fano-Ebene

partieller linearer Raum
linearer Raum (Inzidenzraum)
endlicher linearer Raum
near pencil
projektiver Raum
projektive Ebene
Moufangebene
desargueschen projektive Ebene
pappossche projektive Ebene
endliche Moufangebene
schwach affiner Raum
affiner Raum (lineare Mannigfaltigkeit)
affine Ebene
präeuklidische Ebene
frei bewegliche Ebene
Moulton-Ebene
affine Translationsebene
endliche affine Translationsebene
desarguesche affine Ebene
pappossche affine Ebene
endliche desarguesche affine Ebene
  • (p, B, I) - Punktmenge p + Menge von Blöcken B bzw. Geraden + Inzidenzrelationen I
    • + alle Blöcke sind durch die mit ihnen inzidierenden Punkte vollständig bestimmt
    • + ein Block inzidiert mit |p| - 1 Punkten - nicht dual
    • + je 1... m/n verschiedene Punkte/Blöcke inzidieren mit genau mindestens einen Block/Punkt - Dualitätsprinzip (z.B. ungerichteter Graph)
      • + Typ (m ≥ 1,n ≥ 1)
        • + jede Gerade enthält s ≥ 1 Punkte, durch jeder Punkt gehen t ≥ 1 Geraden, durch 2 Punkte geht höchstens eine Gerade
      • + t-(v, k, λ) - |p| = v, jeder Block inzidiert mit k Punkten, für t große Teilmengen von p existieren genau λ verschiedene inzidierende Blöcke
        • + eindeutig bestimmter Parallelismus (Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke) Blöcke sind Hyperebenen eines affinen Raumes
          • + dim = 2
        • + 5-(12, 6, 1) und 5-(24, 8, 1) - ihre Automorphismengruppen und die ihrer Ableitungen sind die 5 Mathieu-Gruppen
        • + 3-(4n, 2n, n-1) - stark auflösbarer 3-Blockplan
        • + |B| = v - ist durch eine (v×v)-Matrix darstellbar
          • + 2-(4n-1, 2n-1, n-1) - erweiterbar zu einem Hadamard-3-Blockplan durch p' = p ∪ {∞}, B' = {b ∪ {∞} | b ∈ B} ∪ {p \ b | b ∈ B}
            • + linearer Raum, projektive Ebene - 2-(7,3,1) - kleinster Hadamard-Blockplan, Minimalmodell einer projektiven bzw. als
              Ausschnitt einer affinen Ebene, jede projektive Ebene der Ordnung 2 ist isomorph, Automorphismengruppe PGL(3,2), GL(3,2)
    • + durch 2 Punkte geht höchstens eine Gerade, auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte, besitzt mindestens 2 Geraden
      • + durch 2 Punkte geht genau eine Gerade
        • + endlich - verallgemeinert 2-(v, k, 1) (jede Gerade inzidiert mit k Punkten → 2-Blockplan) |p| ≤ |B| (|p| = |B| → projektivausgeartet)
          • + einfach, ausgeartet - eine Gerade besitzt |p| - 1 Punkte, ist zu seiner dualen Struktur isomorph
    • + projektive Erweiterung eines affinen Raumes durch Hinzufügen von Fernpunkten (dim ≥ 2 → linear, dim ≥ 3 → desarguesch)
      • + dim = 2 - je zwei Geraden besitzen einen eindeutigen Schnittpunkt und je zwei Punkte eine eindeutige Verbindungsgerade (endlich → Blockplan)
    • + n-dimensionaler Raum über einen Vektorraum mit Pfeilabbildung (Verschiebung) und Parallelität als Äquivalenzrelation (endlich, dim ≥ 2 → Blockplan)
      • + (dim ≥ 2 → linear, dim ≥ 3 → desarguesch)
        • + dim = 2 - disjunkte Geraden sind parallel - (endlich Ordnung n → (n+1,n)-diskretes Netz bzw. 2-(n2,n,1)-Blockplan)
 
Geometrie
fraktale Geometrie
algebraische Geometrie
Differentialgeometrie
Riemannsche Geometrie
Inzidenzgeometrie
endliche Geometrie
projektive Geometrie
affine Geometrie
Ähnlichkeitsgeometrie
absolute Geometrie
metrische absolute Geometrie
projektiv-metrische Geometrie
euklidischen Geometrie
nichteuklidische Geometrie
hyperbolische Geometrie
elliptische Geometrie
sphärische Geometrie
  • Teilgebiet der Mathematik
    • + Mengen deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension
    • + zum Studium der Nullstellengebilde algebraischer Gleichungen
    • + Analysis
      • + riemannsche Mannigfaltigkeit
    • + je 2 verschiedene Punkte inzidieren mit genau einer Gerade
      • + über einem endlichen Körper
      • + zwei Geraden in einer gemeinsamen Ebene besitzen immer einen Schnittpunkt
      • + zwei parallele Geraden verlaufen immer in einer gemeinsamen Ebene
      • Anordnung, Kongruenz und Stetigkeit
        • + Metrik
          • + projektiv
        • + affin - Parallelenaxiom (Vektorraum → Euklidischer Raum)
        • + Parallelenaxiom gilt nicht
          • + zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g gibt es mindestens zwei Geraden, die durch P gehen und zu g parallel sind
          • + zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g existiert keine Gerade in der Ebene durch g und P, die g nicht schneidet
            • projektiv - Geometrie auf der Kugel
 
messbarer Raum (Messraum)
Lebesgue-Räume
Sobolev-Raum
Hardy-Raum
  • (Ω, A) - σ-Algebra A aus messbaren Mengen bzw. Teilmengen von Ω
    • +
      • +
      • +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------- Klassen / Mengen -------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Menge M
Potenzmenge/-klasse P
transitive Menge/Klasse
Abschluss einer Menge
Ableitung einer Menge
Kondensation einer Menge
insichdichte Menge
perfekte Menge
separierte Menge
isolierte Menge
kompakte Menge
beschränkte Menge
gefilterte Menge
gerichtete Menge
Filter F
Filter in Verbänden
Hauptfilter
Primfilter
Ideal I
Ultrafilter
fixierte Ultrafilter
freie Ultrafilter
absorbierende Menge
ausgewogene Menge
absolutkonvexe Menge
algebraische Varietät
affine Varietät
projektive Varietät
algebraische Kurve
projektive Menge
analytische Menge
borelsche Menge
linear geordnete Menge
konvexe Menge
bedingt vollständige Menge
offene Menge

abgeschlossene Menge

abgeschlossene offene Menge
  • Klasse die sich nicht selbst enthält z.B. ZF-Menge
    • + Menge / Klasse aller Teilmengen, P(M) ist wiederum eine Menge und P(K) eine Klasse
      + x ∈ y ∧ y ∈ M → x ∈ M   bzw.   x ∈ M → x ⊂ M   bzw.   M ⊂ P(M)
    • + Menge aller Berührpunkte p (in jeder Umgebung von p liegt mindestens ein Punkt aus M)
    • + Menge aller Häufungspunkte p (in jeder Umgebung von p liegt mindestens ein Punkt q aus M und q ≠ p)
    • + Menge aller Kondensationspunkte (ℵ1-Häufungspunkte) (polnischer Raum → cp(cp(M)) = cp(M))
    • + ohne isolierte Punkte (ohne Nicht-Häufungspunkten)
      • + abgeschlossen (polnischer Raum → cp(M) = M)
    • + insichdichter Kern (Vereinigung aller insichdichten Teilmengen bzw. Durchschnitt seiner Ableitungen) ist leer
      • + besteht nur aus isolierten Punkten (keine Häufungspunkte)
    • + jedes Netz besitzt ein konvergentes Teilnetz
    • + hat obere oder untere Schrank
    • + Quasiordnung bei der jede endliche Teilmenge eine untere Schranke hat (Totalordnung → Infimum-Halbverband)
    • + Quasiordnung bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat (Totalordnung → Supremum-Halbverband)
      • + nach unten gerichtete Oberhalb-Menge einer halbgeordneten Menge
        • + ist Oberhalb-Menge und abgeschlossen unter endlichen Infima
          • + kleinster Filter, der ein vorgegebenes Element p enthält
          • + a ∨ b ∈ F <=> (a ∈ F oder b ∈ F)
          • + für alle a ∈ Ideal und b ∈ Verband ist a ∧ b ∈ I
        • + Mengenfilter, zu denen keine echte Verfeinerung existiert (Topologie: jeder Ultrafilter konvergiert <=> kompakt)
          • + auf endlichen Mengen - bestehen aus allen Teilmengen, die einen bestimmten Punkt enthalten
          • + Schnittmenge aller ihrer Elemente ist die leere Menge
    • + Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes mit x ∈ V gibt es r > 0 so dass x ∈ αT ist für alle |α|>r
    • + Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes mit x ∈ T und r mit |r|<1 → rx ∈ T (Nullumgebungsbasis)
      • + konvex
    • + geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper beschrieben werden kann
      • + irreduzible affine algebraische Menge (Teilmenge eines affinen Raumes)
      • + homogene Polynome - irreduzible projektive algebraische Menge (Teilmenge eines projektiven Raumes)
      • + eindimensional
    • + mittels stetiger Funktion erzeugbar
      • + stetige Bilder polnischer Räume - abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte sind wieder analytisch (Kontinuumshyp. beweisbar)
        • + {x: x ∈ borelscher σ-Algebra} gebildet aus abzählbaren Vereinigungen oder Durchschnitten offener Mengen
          • + Totalordnung, total geordnete Menge
            • + a,b ∈ M → [a,b] ⊂ M
            • + alle konvexen Teilmengen sind Intervalle
          • + die Umgebung jeder Punktes gehört noch ganz zur Menge (z.B. Vereinigung > geschachtelter abgeschlossener Mengen,
            Durchschnitt endlich vieler offener Mengen, Vereinigung beliebig (auch unendlich) vieler offener Mengen)
          • + jeder ihrer Häufungspunkte gehört zur Menge (z.B. Durchschnitt < geschachtelter offener Mengen, Vereinigung endlich
            vieler abgeschlossener Mengen, Durchschnitt beliebig (auch unendlich) vieler abgeschlossener Mengen)
            • + offene Menge (z.B. leere Menge, jede Teilmenge eines diskreten Raumes)

------------------------------------------------ Graphen / Mengensysteme ---------------------------------------------------------------------------------------------

Graph
unendlicher Graph
ungerichteter Graph
einfacher Graph
vollständigen Graph
ungerichteter Baum
gerichteter Graph
gerichteter azyklischer Graph
gewurzelter Baum
geordneter (planarer) Baum
ebener Graph
planarer Graph
Mengensystem
monotone Klasse
Dynkin-System
Mengenhalbring
Mengenhalbalgebra
Mengenverband
Mengenring
σ-Ring
Mengenalgebra
σ-Algebra
kleinste mögliche σ-Algebra
größte mögliche σ-Algebra
borelsche σ-Algebra
  • abstrakte Struktur in der Knoten V durch Kanten verbunden werden
    • + V ist unendlich
    • + ohne Mehrfachkanten eine Teilmenge aller 2-elementigen Teilmengen von V
      • + ohne Schleifen
        • + jeder Knoten ist mit jedem anderen Knoten durch eine Kante verbunden K1 bis K4 sind planar
      • + die Anzahl der Knoten ist um 1 größer als die Anzahl der Kanten <=> haben keinen Kreis
    • + ohne Mehrfachkanten eine Teilmenge aller Paare (i, j) die durch das kartesische Produkt V × V entstehen
      • + haben keinen gerichteten Kreis (Zyklus)
        • + hat genau eine Wurzel zu der (In-Tree) bzw. von der (Out-Tree) alle Knoten durch genau einen gerichteten Pfad erreichbar sind
          • + für die Söhne jedes Knotens ist eine lineare Ordnung definiert
    • + Darstellung eines Graphen als Teilmenge des ℝ2
      • + keine Kanten schneiden sich
    • + Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge Ω (Hypergraph)
      • + abgeschlossen bezüglich des Limes jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge
        • + abgeschlossen bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung paarweise disjunkter Mengen (enthält Ω)
      • + abgeschlossen bezüglich Durchschnitt und endlicher Vereinigung paarweise disjunkter Mengen und nicht leere
        • + enthält Ω
        • + abgeschlossen bezüglich endlicher Vereinigung
          • + abgeschlossen bezüglich Differenz
            • + monotone Klasse - abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigung
            • + Mengenhalbalgebra - abgeschlossen bezüglich Komplementbildung
              • + σ-Ring, Dynkin-System
                • + {Ø, Ω} - {Ø, A, AC, Ω} kleinste σ-Algebra, die A enthält
                • + P(Ω)
                • + kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengen eines topologischen Raumes Ω enthält
 
Topologie eines top. Raumes (X, T)
triviale Topologie
co-endliche Topologie
co-abzählbare Topologie
diskrete Topologie
Abgeschlossene Hülle (Abschluss)
offener Kern (Inneres)
innerer Punkt x von Y
Umgebung Y von x
Umgebung Y einer Menge A ⊆ Y
alle offenen Umgebung von x ∈ X
  • Topologie T ist Teilmenge der Potenzmenge P(X)
    • gröbste Topologie {Ø, X}
    • {X \ Y: Y ⊆ X, Y endlich} v {Ø}
    • {X \ Y: Y ⊆ X, Y abzählbar} v {Ø}
    • feinste Topologie P(X)
  • Y^ von Y ⊆ X, ∩{A ∈ T: Y ⊆ A} (Y^ ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von Y)
  • Y° von Y ⊆ X, ∪{U ∈ T: U ⊆ Y} (Y° ist die größte offene Teilmenge von Y)
    • x ∈ Y°
    • x ist innerer Punkt von Y
    • A ⊆ Y° bzw. Y ist Umgebung aller x ∈ A
    • T(x) := {U ∈ T: x ∈ U}

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---------------------------------------------------- Relationen --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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Relation R
homogene Relation
dichte Ordnung
vollständige Ordnung
transitive Relation
negative transitive Relation
intransitive Relation
symmetrische Relation
antisymmetrische Relation
asymmetrische Relation
irreflexive Relation
strenge Ordnung (Striktordnung)
strenge Totalordnung
strenge schwache Ordnung
reflexive Relation
verträgliche Relation
Quasiordnung
totale Quasiordnung
Äquivalenzrelation
birationale Äquivalenz
Halbordnung (partielle Ordnung)
Baum
induktive Ordnung
strenge induktive Ordnung
fundierte Ordnung / Menge
Totalordnung (lineare Ordnung)
Wohlordnung
dichte Totalordnung
Kontinuum
  • R ⊂ X x Y
    • + X = Y
      • + zwischen je zwei Elementen liegt ein drittes
      • + jede nach oben beschränkte Teilmenge hat ein Supremum
      • + aRb ∧ bRc → aRc
      • + ¬aRb ∧ ¬bRc → ¬aRc
      • + aRb ∧ bRc ∧ ¬aRc
      • + aRb → bRa
      • + aRb ∧ bRa → a = b
        • + irreflexiv - aRb → ¬(bRa)
      • + ¬aRa
        • + transitiv + asymmetrisch (z.B. {ℚ, <})
          • + trichotom - entweder x < y oder x = y oder y < x
          • + negativ transitiv - einer totalen Quasiordnung komplementär
      • + aRa
        • + symmetrisch
        • + transitiv (z.B. gerichtete Wege in einem zyklischen gerichteten Graphen, Teilbarkeit in ℤ, alphabetische Sortierung mit Umlauten)
          • + total (z.B. {ℂ, |a|≤|b|} da |1|≤|i| + |i|≤|1| = symmetrisch) - einer strengen schwachen Ordnung komplementär
          • + verträglich
            • + zwischen Varietäten, welche isomorphe dichte offene Teilmengen besitzen bzw. isomorphe Funktionenkörper haben
          • + antisymmetrisch (z.B. {ℂ, ≤}, Teilbarkeit in ℕ) Infimum und Supremum eindeutig, Infimum = größte untere Schranke und umgekehrt
            • + die Menge der Elternknoten ist eine Wohlordnung
            • + jede linear geordnete Teilmenge besitzt eine obere Schranke
              • + jede linear geordnete Teilmenge besitzt eine kleinste obere Schranke
            • + jede nichtleere Teilmenge enthält mindestens ein minimales Element (z.B Teilbarkeit in ℕ)
            • + total (z.B. {ℚ, ≤}) kleinstes = minimales Element bzw. größtes = maximales Element
              • fundiert - jede nichtleere Teilmenge enthält genau ein kleinstes Element (z.B. 1<3<5<...<2<4<6<...) (endlich → genau ein Element ohne Vorgänger)
              • + nichtleere, abzählbare, ohne kleinstes und größtes Element → enthalten alle anderen abzählbaren Totalordnungen, je zwei Mengen sind ordnungsisomorph
                • + ℝ ist bis auf Ordnungsisomorphie die einzige vollständige Totalordnung, die eine abzählbare, dichte und zu ℚ ordnungsisomorphe Teilmenge enthält

------------------------------------------------ Funktionen / Abbildungen -----------------------------------------------------------------------------------------------

partielle Funktion
homogene Funktion
Funktion (Abbildung)
surjektive Funktion
injektive Funktion
bijektive Funktion
messbare Funktion
algebraische Funktion
transzendente Funktion
hypergeometrische Funktion
vektorwertige Funktion
reell-vektorwertige Funktion
reellwertige Funktion
harmonische Funktion
komplex-vektorwertige Funktion
komplexwertige Funktion
meromorphe Funktion
holomorphen Funktion
biholomorphe Abbildung
elliptische Funktion
rationale Funktion
Potenzfunktion
ganzrationale Funktion (Polynomfunktion)
konstante Funktion
lineare Funktionen
quadratische Funktion
kubische Funktion
quartische Funktion
stetige Funktion
gleichmäßig stetige Funktion
absolut stetige Funktion
lokal Hölder-stetige Funktion
Hölder-stetige Function
Lipschitz-stetige Funktion
symmetrische Funktion
symmetrisches Polynom
antisymmetrische Funktion
Kreuzprodukt
Determinante
rationale Abbildung
birationale Abbildung
multilineare Abbildung
lineare Abbildung
orthogonale Abbildung
bijektive orthogonale Abbildung
unitäre Abbildung
bijektive unitäre Abbildung
unitärer Operator
2-lineare Abbildung
bilineare Abbildung
Spatprodukt
  • rechtseindeutig, f: Definitionsmenge X → Zielmenge Y, x ↦ y
    • + f(ax1, ..., axk) = an • f(x1, ..., xk) heißt homogen vom Grad n
    • + linkstotal
      • + rechtstotal (volltotal), Zielmenge Y und die Bildmenge f(X) stimmen überein, |X| ≥ |Y|, z.B. sin: ℝ → [-1,1]
      • + linkseindeutig (volleindeutig), Urbild jedes Elements der Bildmenge f(X) besteht aus höchstens einem Element von X, |X| ≤ |Y|
        • + surjektiv (rechtstotal), eineindeutig, surjektiv + injektiv
      • + zwischen zwei Messräumen
      • + sind die Lösung einer algebraischen Gleichung (X = ℂ → meromorph)
      • + ist nicht algebraisch z.B. ex, log x, sin x, cox x, sinh x, cosh x
      • + verallgemeinert die geometrische Reihe z.B. ex, sin x, cox x, tan x, cot x, Bessel-Funktionen
      • + Y ist ein Vektorraum
      • + punktweise Stetigkeit
        • + zwischen zwei uniformen Räumen - das Urbild jeder Nachbarschaft ist wieder eine Nachbarschaft
        • + zwischen zwei metrischen Räumen
          • + gleichmäßig stetig - zwischen zwei metrischen Räumen
            • + absolut stetig - alle Sekanten einer Funktion haben eine Steigung, deren Betrag nicht größer ist als die jeweilige Lipschitz-Konstante
      • + alle Permutationen der Variablen verändern den Funktionswert nicht - Verallgemeinerung des Kommutativgesetzes (z.B. Wellenfunktion von Bosonen)
        • + in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern
      • + die Vertauschung zweier Variablen kehrt das Vorzeichen der Funktion um (z.B. Wellenfunktion von Fermionen)
        • + orthogonal zu der von zwei Vektoren aufgespannten Ebene
        • + ordnet einer quadratischen Matrix bzw. allgemein einem Endomorphismus einen Skalar zu, für 3×3 Matrix gleich dem Spatprodukt
      • + X und Y sind irreduzible algebraische Varietäten
        • + es gibt zusätzlich eine rationale Abbildung von Y nach X, und X und Y sind birational äquivalent
      • + ist eine auf einem Produktraum definierte Abbildung, welche bezüglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist
        • + 1-linear - Homomorphismus zwischen Vektorräumen - homogene lineare Funktion
          • + injektiv, normerhaltend, abstandserhaltend - Abbildung zwischen zwei reellen Prähilberträumen, die das Skalarprodukt erhält
            • + bijektiv
          • + injektiv, normerhaltend, abstandserhaltend - Abbildung zwischen zwei komplexen Prähilberträumen, die das Skalarprodukt erhält
            • + bijektiv
              • + zwischen Hilberträumen
        • + 2-linear - (z.B. Addition, Multiplikation, Kreuzprodukt, Skalarprodukt)
          • + linear in beiden Argumenten - Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze
        • + 3-linear - Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor, gleich der Determinante der 3×3 Matrix

----------------------------------------------- Homomorphismen ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Homomorphismus
Ringhomomorphismus
Frobeniushomomorphismus
Epimorphismus
Monomorphismus
Isomorphismus
Homöomorphismus
Diffeomorphismus
Endomorphismus
Automorphismus
Antihomomorphismus
Antiisomorphismus
Antiendomorphismus
Antiautomorphismus
  • strukturerhaltende Abbildung - Additivität f(u+v) = f(u) + f(v) und Homogenität f(αv) = αf(v) für alle α ∈ K und u,v ∈ V
    • + zwischen Ringen
      • + Endomorphismus
    • + surjektiv
    • + injektiv, Kern ist trivial {N}
      • + bijektiv
        • + stetig in topologischen Räumen
        • + stetig in differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
    • + X = Y
      • + bijektiv
    • + Funktion, die auf zwei Mengen mit jeweils einer zweistelligen Verknüpfung definiert ist und die die Reihenfolge der Operanden umkehrt
      • + bijektiv
      • + X = Y
        • + bijektiv (z.B. Inversionsabbildung in Gruppen)

----------------------------------------------- Gleichungen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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