Elementare Mathematik
Basiert auf "A Calculus of Number Based on Spatial Forms" von Jeffrey M. James 1993.f1(x) = x f2(x) = -x f3(x) = ex f4(x) = ln x f3(f4(x)) = x eln x = x f4(f3(x)) = x ln ex = x <> - Inversion -0 = 0 () = o - Instanzierung e0 = 1 [] = ∎ - Abstraktion ln 0 = -∞ + [-∞...∞]i [(a)] = ([a]) = a Abbau Axiom 1 ln ea = eln a = a (a[bc]) = (a[b])(a[c]) Distribution von a Axiom 2 ea + ln (b + c) = ea + ln b + ea + ln c a<a> = Inversion von a Axiom 3 a - a = 0 <<a>> = a Inversionsaufhebung (doppelte Inversion) Theorem 1 -(-a) = a <a><b> = <ab> Inversionszusammenfassung Theorem 2 (-a) + (-b) = -(a + b) Beweis der Inversionsaufhebung für a != ∎ <<a>> <<a>><a>a -Inversion von a a Inversion von <a> Beweis der Inversionszusammenfassung für a,b != ∎ <a><b> <a><b>ab<ab> -Inversion von ab <ab> Inversion von a und b Beweis der additiven Selbstinversheit des Nichts -0 = 0 <> Inversion des Nichts Kardinalität von a (zweiten Grades) (Anzahl) a = ([a]) = ([a][o]) -Abbau2, -Abbau1 aa = ([a][o])([a][o]) = ([a][oo]) 2x a, -Distribution von [a] a...a = ([a][o...o]) Induktionsschritt über alle natürlichen Zahlen a * b => ([a][b]) a / b => ([a]<[b]>) für b != Beweis der Assoziativität der Multiplikation (a*b)*c = a*(b*c) ([([a] [b])][c] ) ( [a] [b] [c] ) Abbau1 ( [a][([b] [c])]) -Abbau1 Beweis der multiplikativen Selbstinversheit von o 1/1 = 1 (<[o]>) (< >) Abbau1 ( ) Inversion des Nichts
Realanteil des komplexen Logarithmus
Imaginäranteil des komplexen Logarithmus - Riemannsche Fläche Absorbtion ([a]∎) = Null-Kardinalität von a Theorem 3 a * 0 = 0 ∎ a = ∎ Absorbtion von a (schwarzes Loch) Theorem 4 ∎ + a = ∎ Beweis der Null-Kardinalität ([a]∎) ([a]∎)([a][b])<([a][b])> -Inversion von ([a][b]) ([a][b])<([a][b])> -Distribution von [a] Inversion von ([a][b]) Beweis der Absorbtion ∎ a [(∎ [(a)])] 2x -Abbau1 [ ] Null-Kardinalität von (a) Beweis der Null-Kardinalität ([a]∎) ( ∎) Absorbtion von [a] Abbau2 Unbestimmtheit der Kardinalität von ∎ ∎ = ∎∎ = ∎∎∎ = ∎∎∎∎ = ... -Absorbtion von ∎ = <> = [o] = (∎) = [(<>)] = ([<>]) = <[o]> = <(∎)> 5x Inversion des Nichts, 3x Abbau1, 3x Abbau2 Undefiniertheit der Inversion von ∎ (<∎>) = ([o]<∎>) <= 1/0 ist undefiniert (Singularität) 0 * ? = 1 Null hat kein multiplikatives Inverses 0/0 mehrdeutig 0/a = 0 a/a = 1 a/0 = ∞ inverse Absorbtion <∎> a <∎><<a>> -Inversionsaufhebung <∎ <a>> Inversionszusammenfassung <∎ > Absorbtion von <a> ∎<∎> -Inversion von ∎ => Absorbtion von <∎> oder inverse Absorbtion von ∎ => Möglichkeit der beliebigen Absorbtion von Allem überall => <∎> undefiniert (Inversion eines schwarzen Loches ist nicht erlaubt) => Division durch 0 ist undefiniert (Singularität) Kardinalität von [a] (dritten Grades) ([a]) = (([[a]])) = (([[a]][o])) -Abbau2, -Abbau1 ([a][a]) = (([[a]][o])([[a]][o])) = (([[a]][oo])) 2x [a], -Distribution von [[a]] ([a]...[a]) = (([[a]][o...o])) Induktionsschritt über alle natürlichen Zahlen a b Addition ooo ooo 3 + 3 = 6 ( [a] [b]) Multiplikation ( [ooo] [ooo]) 3 * 3 = 3 + 3 + 3 = 9 (( [[a]] [b])) Exponentiation (( [[ooo]] [ooo])) 33 = 3 * 3 * 3 = 27 ((( [[[a]]] [b]))) Tetration ((( [[[ooo]]] [ooo]))) 333 = 327 = 7.625.597.484.987 (((([[[[a]]]][b])))) Hyper-5 (((([[[[ooo]]]][ooo])))) 3...3 7.625.597.484.987 mal - dafür ist unser Universum bereits zu klein ... ab => (([[a]][b])) a0 = 1 => (([[a]]∎)) = ((∎)) = o Absorbtion von [[a]], Abbau2 a1 = a => (([[a]][o])) = (([[a]])) = ([a]) = a Abbau1, 2x Abbau2 Inversion ([<a>]b) = <([a]b)> Inversionsbeförderung1 Theorem 5 -a * eb = -(a * eb) (<[<a>]>) = <(<[a]>)> Inversionsbeförderung2 Axiom 4 1/-a = -1/a (<[<a>]>b) = <(<[a]>b)> Inversionsbeförderung3 Theorem 6 1/-a * eb = -(1/a * eb) Beweis der Inversionsbeförderung1 für a != ∎ ([<a>]b) <([a]b)>([a]b)([<a>]b) -Inversion von ([a]b) <([a]b)>([a <a>]b) -Distribution von b <([a]b)>([ ]b) Inversion von a <([a]b)>([ ] ) Absorbtion von b <([a]b)> Abbau2 Beweis der Inversionsbeförderung3 für a != ∎ ( <[<a>]> b) <(<[a]>b)>( <[a]> b)( <[<a>]> b) -Inversion von (<[a]>b) <(<[a]>b)>([(<[a]>)]b)([ (<[<a>]>) ]b) 2x -Abbau1 <(<[a]>b)>([(<[a]>) (<[<a>]>) ]b) -Distribution von b <(<[a]>b)>([(<[a]>) <(<[ a ]>)>]b) Inversionsbeförderung2 <(<[a]>b)>([ ]b) Inversion von (<[a]>) <(<[a]>b)>([ ] ) Absorbtion von b <(<[a]>b)> Abbau2 Beweise der Irrationalität von √2 √2 = a/b 2 = (a/b)2 2 * b2 = (a/b)2 * b2 2 * b * b = a * a a mod 1 = 0 & b mod 1 = 0 -> -> (a*a) mod 2 = 0 -> a mod 2 = 0 -> (2*b*b) mod 4 = 0 -> (b*b) mod 2 = 0 -> b mod 2 = 0 -> (a*a) mod 8 = 0 -> a mod 4 = 0 -> (2*b*b) mod 16 = 0 -> (b*b) mod 8 = 0 -> b mod 4 = 0 -> (a*a) mod 32 = 0 -> a mod 8 = 0 -> (2*b*b) mod 64 = 0 -> (b*b) mod 32 = 0 -> b mod 8 = 0 -> (a*a) mod 128 = 0 -> ... => √2 ist irrational (([[oo]]<[oo]>)) = ([a]<[b]>) ([[oo]]<[oo]>) = [a]<[b]> b = o -> a = (([[oo]]<[ oo ]>)) eln 2 / 2 a = o -> b = (([[oo]]<[<oo>]>)) eln 2 / -2 b = oo -> a = (([[oo]]<[ oo ]>)[oo]) eln 2 / 2 + ln 2 a = oo -> b = (([[oo]]<[<oo>]>)[oo]) eln 2 / -2 + ln 2 b = ooo -> a = (([[oo]]<[ oo ]>)[ooo]) eln 2 / 2 + ln 3 a = ooo -> b = (([[oo]]<[<oo>]>)[ooo]) eln 2 / -2 + ln 3 ... => a und b sind nicht zusammen natürlich auflösbar => (([[oo]]<[oo]>)) ist irrational Operatoren -a => <a> für a != ∎ a+b => ab a+b+c => abc a-b => a<b> für b != ∎ a*b => ([a][b]) a*b*c => ([a][b][c]) a*-b => ([a][<b>]) = <([a][b])> = ([<a>][b]) +-Inversionsbeförderung1 für a,b != ∎ a/b => ([a]<[b]>) für b != 1/b => ([o]<[b]>) = (<[b]>) Abbau1 für b != a/a => ([a]<[a]>) = o Inversion von [a] für a != ab => (([[a]][b])) a1 => (([[a]][o])) = (([[a]])) = a Abbau1, 2x Abbau2 a-b => (([[a]][<b>])) für b != ∎ a1/b => (([[a]]<[b]>)) = (([[a]][(<[b]>)])) -Abbau1 für b != ac/b => (([[a]]<[b]>[c])) = (([[a]][(<[b]>[c])])) -Abbau1 für b != abc (([[a]][(([[b]][c]))])) (([[a]] ([[b]][c]) )) Abbau1 ((ab)c)1/d = ab*c/d (([[(([[(([[a]][b]))]][c]))]]<[d]>)) (( [[a]][b] [c] <[d]>)) 4x Abbau1 ab * ac = ab+c ([(([[a]][b]))][(([[a]][c]))]) ( ([[a]][b]) ([[a]][c]) ) 2x Abbau1 ( ([[a]][b c]) ) Distribution von [[a]] ac * bc = (a*b)c ([(([[a]][c]))][(([[b]][c]))]) ( ([[a]][c]) ([[b]][c]) ) 2x Abbau1 ( ([[a] [b]][c]) ) Distribution von [c] 1 / e = e-1 => ([o]<[(o)]>) = (<[(o)]>) = (<o>) 2x Abbau1 1 / e2 = e-2 => ([o]<[(oo)]>) = (<[(oo)]>) = (<oo>) 2x Abbau1 ln (a*b) = ln a + ln b => [([a][b])] = [a][b] Abbau1 ln (a/b) = ln a - ln b => [([a]<[b]>)] = [a]<[b]> Abbau1 ln (ab) = ln a * b => [(([[a]][b]))] = ([[a]][b]) Abbau1 logb a = ln a/ln b => ([[a]]<[[b]]>) 1/(1/a) = a (<[(<[a]>)]>) (< <[a]> >) Abbau1 ( [a] ) Inversionsaufhebung a Abbau2 (1/a)*(1/b) = 1/(a*b) ([(< [a]>)][(<[b] >)]) ( < [a]> <[b] > ) 2x Abbau1 ( < [a] [b] > ) Inversionszusammenfassung ( <[([a] [b])]> ) -Abbau1 (1/a)b = a-b ( ([[(<[a]>)]][ b ]) ) ( ([ <[a]> ][ b ]) ) Abbau1 (<([ [a] ][ b ])>) Inversionsbeförderung1 ( ([ [a] ][<b>]) ) -Inversionsbeförderung1 a/c + b/d = (a*d + b*c) / c*d ( [a] <[c]>)( [b] <[d]>) ( [a][d] <[d]><[c]>)( [b][c] <[c]><[d]>) -Inversion von [d] und [c] ( [a][d] <[d] [c]>)( [b][c] <[c] [d]>) 2x Inversionszusammenfassung ([([a][d])]<[d] [c]>)([([b][c])]<[c] [d]>) 2x -Abbau1 ([([a][d]) ([b][c])]<[c] [d]>) -Distribution von <[c][d]> 1/a + 1/b = (a + b) / a*b ( <[a]>)( <[b]>) ([b]<[b]><[a]>)([a]<[a]><[b]>) -Inversion von [b] und [a] ([b]<[b] [a]>)([a]<[a] [b]>) 2x Inversionszusammenfassung ([ab]<[a][b]>) -Distribution von <[a][b]> (a + b) * (a - b) = a² - b² ([a b][a <b>]) ([a b][a]) ([a b][<b>]) Distribution von [ab] ([a][a])([b][a]) ([a][<b>]) ([b][<b>]) Distribution von [a] und [<b>] ([a][a])([b][a])<([a][ b ])><([b][ b ])> 2x -Inversionsbeförderung1 ([a][a]) <([b][ b ])> Inversion von ([a][b]) (([[a]][oo])) <(([[b]][oo]))> Kardinalität von [a] und [b] Nummern 0 => 1 => o 2 => oo -1 => <o> -2 => <oo> 1/2 => (<[oo]>) 2/3 => ([oo]<[ooo]>) 43 => ([b][oooo])ooo für b = oooooooooo 243 => ([b][([b][oo])oooo])ooo für b = oooooooooo 1243 => ([b][([b][boo])oooo])ooo für b = oooooooooo Stelligkeit {a} = ([oooooooooo][a]) Definition von {} oooooooooo{a} = {o a} Übertrag+ Kardinalität von oooooooooo {a}{b} = {ab} Zusammenfassung+ ([{a}]b) = {([a]b)} Beförderung+ {} = Null-Kardinalität+ 23 * 114 = 2622 ([ {oo}ooo ] [ {{o}o}oooo ]) ([{oo}][{{o}o}oooo]) ([ooo][{{o}o}oooo]) Distribution von [{{o}o}oooo] {([ oo ][{{o}o}oooo])} ([ooo][{{o}o}oooo]) Beförderung+ {{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}oooo{{o}o}oooo{{o}o}oooo 2x -Kardinalität von {{o}o}oooo {{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}{{o}o}{{o}o}oooooooooooo Zusammenfassung+ von o {{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}{{o}o}{{o}oo} oo Übertrag+ {{{o}o} {{o}o} {o}{o}{o} oooooooooooo} oo Zusammenfassung+ von {o} {{{o}o} {{o}o} {o}{o}{oo} oo} oo Übertrag+ {{{o} {o} oooooo} oo} oo Zusammenfassung+ von {{o}} {{{ oo} oooooo} oo} oo Zusammenfassung+ von {{{o}}} Inverse Stelligkeit /a\ = (<[oooooooooo]>[a]) Definition von /\ /oooooooooo a\ = o/a\ Übertrag- Kardinalität von oooooooooo /a\/b\ = /ab\ Zusammenfassung- ([/a\]b) = /([a]b)\ Beförderung- /\ = Null-Kardinalität- {/a\} = /{a}\ = a Stelligkeitsaufhebung 12,1 * 1,012 = 12,2452 ([ {o}oo/o\ ] [ o//o/oo\\\ ]) ([{o}][o//o/oo\\\]) ([oo][o//o/oo\\\]) ([/o\][o//o/oo\\\]) 2x Distribution von [o//o/oo\\\] {([ o ][o//o/oo\\\])}([oo][o//o/oo\\\])/([ o ][o//o/oo\\\])\ 2x Beförderung ± { o//o/oo\\\ } o//o/oo\\\o//o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ 3x -Kardinalität von o//o/oo\\\ {o}{ //o/oo\\\ } o//o/oo\\\o//o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ -Zusammenfassung+ {o} /o/oo\\ o//o/oo\\\o//o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ Stelligkeitsaufhebung1 {o}oo /o/oo\\ //o/oo\\\ //o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ Zusammenfassung+ von o {o}oo /oo/oo\ /o/oo\\ /o/oo\\ //o/oo\\\ \ Zusammenfassung- of /o\ {o}oo /oo/oooo /oo\ /oo\ /o/oo\\\ \ Zusammenfassung- of //o\\ {o}oo /oo/oooo /ooooo /oo\\\ \ Zusammenfassung- of ///o\\\ 100 / 3 = 33,3... ([ {{o}} ]<[ooo]>) {([ {o} ]<[ooo]>)} Beförderung+ {([oooooooooo]<[ooo]>)} -Übertrag+ {([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>) ([o]<[ooo]>)} 3x Distribution von <[ooo]> {( )( )( ) ([o]<[ooo]>)} 3x Inversion von [ooo] {ooo} {([o]<[ooo]>)} -Zusammenfassung+ {ooo} ([{o}]<[ooo]>) -Beförderung+ {ooo} ([oooooooooo]<[ooo]>) -Übertrag+ {ooo}([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>) ([o]<[ooo]>) 3x Distribution von <[ooo]> {ooo}( )( )( ) ([o]<[ooo]>) 3x Inversion von [ooo] {ooo}ooo ([/oooooooooo\]<[ooo]>) -Übertrag- {ooo}ooo /([ oooooooooo ]<[ooo]>) \ Beförderung- {ooo}ooo/([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([o]<[ooo]>) \ 3x Distribution von <[ooo]> {ooo}ooo/( )( )( )([o]<[ooo]>) \ 3x Inversion von [ooo] {ooo}ooo/ooo ([/oooooooooo\]<[ooo]>) \ -Übertrag- {ooo}ooo/ooo /([ oooooooooo ]<[ooo]>)\\ Beförderung- ... 100 / 3,3 = 30,3030... ([ {{o}} ]<[ooo/ooo\]>) {([ {o} ]<[ooo/ooo\]>)} Beförderung+ {([oooooooooo]<[ooo/ooo\]>)} -Übertrag+ {([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>)} -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung- {([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito) ([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)} 3x Distribution von <[ooo/ooo\]> {( )( )( ) ([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)} 3x Inversion von [ooo/ooo\] {ooo} {([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)} -Zusammenfassung+ {ooo} ([{/o\}]<[ooo/ooo\]>) -Beförderung+ {ooo} ([ o ]<[ooo/ooo\]>) Stelligkeitsaufhebung1 {ooo} ([/oooooooooo\]<[ooo/ooo\]>) -Übertrag- {ooo} /([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>) \ Beförderung- {ooo} /([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>) \ -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung- {ooo}/([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito) ([/o\]<[ooo/ooo\]>) \ 3x Distribution von <[ooo/ooo\]> {ooo}/( )( )( ) ([/o\]<[ooo/ooo\]>) \ 3x Inversion von [ooo/ooo\] {ooo}/ooo ([//oooooooooo\\]<[ooo/ooo\]>) \ -Übertrag- {ooo}/ooo //([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>) \\\ 2x Beförderung- {ooo}/ooo //([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>) \\\ -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung- {ooo}/ooo//([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito)([/o\]<[ooo/ooo\]>) \\\ 3x Distribution von <[ooo/ooo\]> {ooo}/ooo//( )( )( )([/o\]<[ooo/ooo\]>) \\\ 3x Inversion von [ooo/ooo\] {ooo}/ooo//ooo ([//oooooooooo\\]<[ooo/ooo\]>) \\\ -Übertrag- {ooo}/ooo//ooo //([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>)\\\\\ 2x Beförderung- ...
Realanteil der komplexen Exponentialfunktion
Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion Transzendental J = [<o>] Phasen-Element Definition ln -1 = πi (~3.1415926535i) (J) = ([<o>]) = <o> Abbau2 eJ = eπi = -1 (o) Eulersche Zahl e1 = e (~2.71828182845) ((o)) ee (~15.1542622414) [<(a)>] = a[<o>] Phasenunabhängigkeit von a Theorem 7 ln -ea = a + ln -1 (a JJ ) = (a) J-Aufhebung1 Theorem 8 ea + 2*ln -1 = ea + ln (-1)² = ea + ln 1 = ea = ea + 2πi (a<bJJ>) = (a<b>) J-Aufhebung2 Theorem 9 ea - b - 2*ln -1 = ea - b - ln (-1)² = ea - b - ln 1 = ea - b = ea - b - 2πi (J) = (<J>) Selbstinversheit von J Theorem 10 eJ = e-J (([J]<[oo]>)) i und <i> eJ/2 = √-1 = ±i i = (<[<i>]>) = <(<[i]>)> imaginäre Einheit Theorem 11 i = 1/-i = -e-ln i ([<J>][i]) = ([J][<i>]) Kreiszahl Pi -J*i = J/i = J*-i = π (~3.1415926535) So wie ln im Imaginären um ein beliebiges Vielfaches von 2π mehrdeutig ist, so werden bei e alle Werte alle 2πi wiederholt. Um dieses abzubilden ist die J-Aufhebung und Selbstinversheit von J nur innerhalb einer Instanzierung zulässig, bzw. sie müssen in insgesamt mindestens einer Instanzierung mehr enthalten sein als in Abstraktionen. Beweis der Phasenunabhängigkeit von a für a != [∎] [<(a)> ] [<(a)>( [ ])] -Abbau2 [<(a)>(a[ ])] -Absorbtion von a [<(a)>(a[o <o>])] -Inversion von o [<(a)>(a[o])(a[<o>])] Distribution von a [<(a)>(a )(a[<o>])] Abbau1 [ (a[<o>])] Inversion von (a) a[<o>] Abbau1 Beweis der J-Aufhebung innerhalb von () [<o>][<o>] [<([<o>])>] -Phasenunabhängigkeit von [<o>] [< <o> >] Abbau2 [ o ] Inversionsaufhebung Abbau1 Beweis der J-Aufhebung1 innerhalb von () (a[<o>][<o>]) -Abbau1 <<(a[ o ][ o ])>> 2x Inversionsbeförderung1 (a[ o ][ o ]) Inversionsaufhebung (a ) 2x Abbau1 Beweis der Selbstinversheit von J innerhalb von () (J ) (J< >) -Inversion des Nichts (J<J J>) -J-Aufhebung2 (J<J><J>) -Inversionszusammenfassung ( <J>) Inversion von J
f1(x) = x2 f2(x) = √x f1(f2(x)) = x (√x)2 = x f2(f1(x)) = ±x √(x2) = ±x
Realanteil und Imaginäranteil der komplexen Quadratwurzel
Realanteil und Imaginäranteil der komplexen Kubikwurzel Beweis der Zweideutigkeit von (([J]<[oo]>)) bzw. √-1 Immer wenn der Exponent eine nichtganze rationale Zahl ist, gibt es eine Mehrdeutigkeit. Und wenn der Exponent kleiner gleich O ist, ergibt die Basis gleich 0 einen entarteten Punkt. i * i = -i * -i = (±i)2 = -1 ([(([J]<[oo]>))][(([J]<[oo]>))]) (([[(([J]<[oo]>))]][oo])) Kardinalität von [(([J]<[oo]>))] (( [J]<[oo]> [oo])) 2x Abbau1 (( [J] )) Inversion von [oo] <o> 2x Abbau2 und ([<(([J]<[oo]>))>][<(([J]<[oo]>))>]) <<([ (([J]<[oo]>)) ][ (([J]<[oo]>)) ])>> 2x Inversionsbeförderung1 ([ (([J]<[oo]>)) ][ (([J]<[oo]>)) ]) Inversionsaufhebung (([[(([J]<[oo]>))]][oo]) ) Kardinalität von [(([J]<[oo]>))] (( [J]<[oo]> [oo]) ) 2x Abbau1 (( [J] ) ) Inversion von [oo] <o> 2x Abbau2 Beweis der imaginären Einheit1 (<[<<(([ J ]<[oo]>))>>]>) (< ([ J ]<[oo]>) >) Inversionsaufhebung, Abbau1 ( ([<J>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1 ( ([ J ]<[oo]>) ) -Selbstinversheit von J Beweis der imaginären Einheit2 <(<[(([ J ]<[oo]>))]>)> <(< ([ J ]<[oo]>) >)> Abbau1 <( ([<J>]<[oo]>) )> -Inversionsbeförderung1 <( ([ J ]<[oo]>) )> -Selbstinversheit von J -1 * -1 = 1 ([<o>][<o>]) ( ) J-Aufhebung1 ee = ee (([[(o)]][(o)])) (( o )) 3x Abbau1 < a > = ([<([a])>]) = ([a][<o>]) = ([a]J) 2x-Abbau2, Phasenunabhängigkeit von [a] [< a >] = [<([a])>] = [a][<o>] = [a]J -Abbau2, Phasenunabhängigkeit von [a] <( a )> = ([<( a )>]) = (a[<o>]) = (aJ) -Abbau2, Phasenunabhängigkeit von a Unbestimmtheit der Kardinalität von J innerhalb von () ... = (<JJJJ>) = (<JJ>) = o = (JJ) = (JJJJ) = ... J-Aufhebung1, J-Aufhebung2, Inversion des Nichts ... = (<JJJ>) = (<J>) = (J) = (JJJ) = (JJJJJ) = ... J-Aufhebung1, J-Aufhebung2, Selbstinversheit von J Undefiniertheit von [∎] innerhalb von () ( [∎] ) ( [∎] JJ) -J-Aufhebung1 ([<([∎])>]J) -Phasenunabhängigkeit von [∎] ([< ∎ >]J) Abbau2 - Undefiniertheit der Inversion von ∎ Undefiniertheit von 00 (([∎]∎)) (( ∎)) Absorbtion von [∎] ( ) Abbau2 => 00 = 1 aber aus der Undefiniertheit von [∎] folgt prinzipiell die Undefiniertheit von 00 a0 = 1 (([[a]]∎)) (( ∎)) Absorbtion von [[a]] ( ) Abbau2 0n = 0 n ∈ ℕ (([∎][o...o])) (∎...∎) Kardinalität von ∎ (∎ ) Absorbtion von ∎ Abbau2 ln 0 + ln -1 = ln 0 ∎J [<(∎)>] -Phasenunabhängigkeit von ∎ [< >] Abbau2 [ ] Inversion des Nichts Beweis der multiplikativen Selbstinversheit von (([J]<[oo]>)) (wie o) 1/±i = ∓i (<[(([ J ]<[oo]>))]>) (< ([ J ]<[oo]>) >) Abbau1 ( ([<J>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1 ( ([ J ]<[oo]>) ) -Selbstinversheit von J und (<[<(([ J ]<[oo]>))>]>) <(<[ (([ J ]<[oo]>)) ]>)> -Inversionsbeförderung2 <(< ([ J ]<[oo]>) >)> Abbau1 <( ([<J>]<[oo]>) )> -Inversionsbeförderung1 <( ([ J ]<[oo]>) )> -Selbstinversheit von J ∓i = ±i <(([ J ]<[oo]>))> (<[<<(([ J ]<[oo]>))>>]>) imaginären Einheit11 (< ([ J ]<[oo]>) >) Inversionsaufhebung, Abbau1 ( ([<J>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1 ( ([ J ]<[oo]>) ) -Selbstinversheit von J ±i = ∓i (([ J ]<[oo]>)) <(<[(([ J ]<[oo]>))]>)> imaginären Einheit12 <(< ([ J ]<[oo]>) >)> Abbau1 <( ([<J>]<[oo]>) )> -Inversionsbeförderung1 <( ([ J ]<[oo]>) )> -Selbstinversheit von J J/i = i*π / i = π ([J]<[(([ J ]<[oo]>))]>) ([J]< ([ J ]<[oo]>) >) Abbau1 ([J] ([<J>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1 ([J] ([ J ]<[oo]>) ) -Selbstinversheit von J und ([ J ]<[<(([ J ]<[oo]>))>]>) <([ J ]<[ (([ J ]<[oo]>)) ]>)> Inversionsbeförderung3 ([<J>]<[ (([ J ]<[oo]>)) ]>) -Inversionsbeförderung1 ([<J>]< ([ J ]<[oo]>) >) Abbau1 ([<J>] ([<J>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1 ([<J>] ([ J ]<[oo]>) ) -Selbstinversheit von J J * -i = π ([ J ][<(([ J ]<[oo]>))>]) <([ J ][ (([ J ]<[oo]>)) ])> Inversionsbeförderung1 ([<J>][ (([ J ]<[oo]>)) ]) -Inversionsbeförderung1 ([<J>] ([ J ]<[oo]>) ) Abbau1 und ([J][<<(([ J ]<[oo]>))>>]) ([J][ (([ J ]<[oo]>)) ]) Inversionsaufhebung ([J] ([ J ]<[oo]>) ) Abbau1 π * i = J ([([<J>][i])][i]) ( [<J>][i] [i]) Abbau1 ( [<J>][<o> ]) i * i = -1 <<( [ J ][ o ])>> 2x Inversionsbeförderung1 J Inversionsaufhebung, Abbau1, 2x Abbau2 ii = eJ*i/2 = e-π/2 = e-π/2-2πk k ∈ ℤ (([[(([J]<[oo]>))]][(([J]<[oo]>))])) (( [J]<[oo]> ([J]<[oo]>) )) 3x Abbau1 und ( ([[(([ J ]<[oo]>))]][<(([J]<[oo]>))>]) ) (<( [ J ]<[oo]> [ (([J]<[oo]>)) ])>) 2x Abbau1, Inversionsbeförderung1 ( ( [<J>]<[oo]> [ (([J]<[oo]>)) ]) ) -Inversionsbeförderung1 ( ( [ J ]<[oo]> ([J]<[oo]>) ) ) Abbau1, -Selbstinversheit von J i-2i = eπ (([[(([J]<[oo]>))]][(([J]<[oo]>))][oo])) (( [J]<[oo]> ([J]<[oo]>) [oo])) 3x Abbau1 (( [J] ([J]<[oo]>) )) Inversion von [oo] und ( ([[(([ J ]<[oo]>))]][<(([J]<[oo]>))>][oo]) ) (<( [ J ]<[oo]> [ (([J]<[oo]>)) ][oo])>) 2x Abbau1, Inversionsbeförderung1 ( ( [<J>]<[oo]> [ (([J]<[oo]>)) ][oo]) ) -Inversionsbeförderung1 ( ( [ J ] ([J]<[oo]>) ) ) Abbau1, -Selbstinversheit von J 1/√a = √(1/a) (<[(([ [a] ]<[oo]>))]>) (< ([ [a] ]<[oo]>) >) Abbau1 ( ([<[a]>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1 √9 = √±32 = ±3 (([[ ooooooooo ]]<[oo]>)) (([[( [ooo][ooo] )]]<[oo]>)) Kardinalität von ooo (([[(([[ooo]][oo]))]]<[oo]>)) Kardinalität von [ooo] (( [[ooo]][oo] <[oo]>)) 2x Abbau1 (( [[ooo]] )) Inversion von [oo] ooo 2x Abbau2 und (([[ ooooooooo ]]<[oo]>)) (([[ ( [ ooo ][ ooo ]) ]]<[oo]>)) Kardinalität von ooo (([[<<( [ ooo ][ ooo ])>>]]<[oo]>)) -Inversionsaufhebung (([[ ( [<ooo>][<ooo>]) ]]<[oo]>)) 2x -Inversionsbeförderung1 (([[ (([[<ooo>]][oo]) ) ]]<[oo]>)) Kardinalität von [<ooo>] (( [[<ooo>]][oo] <[oo]>)) 2x Abbau1 (( [[<ooo>]] )) Inversion von [oo] <ooo> 2x Abbau2 -22 = 22 (([[<oo>]][oo])) ([<oo>][<oo>]) -Kardinalität von [<oo>] <<([ oo ][ oo ])>> 2x Inversionsbeförderung1 ([ oo ][ oo ]) Inversionsaufhebung (([[oo]][oo])) Kardinalität von [oo] ab = -ab (( [[ a ]] [b])) (( [[ a ]][oo] <[oo]>[b])) -Inversion von [oo] (([[ (([[ a ]][oo])) ] ]<[oo]>[b])) 2x -Abbau1 (([[ ( [ a ][ a ] ) ] ]<[oo]>[b])) -Kardinalität von [a] (([[<<( [ a ][ a ] )>>] ]<[oo]>[b])) -Inversionsaufhebung (([[ ( [<a>][<a>] ) ] ]<[oo]>[b])) 2x -Inversionsbeförderung (([[ (([[<a>]][oo])) ] ]<[oo]>[b])) Kardinalität von [<a>] (( [[<a>]][oo] <[oo]>[b])) 2x Abbau1 !!! Zweideutigkeit (( [[<a>]] [b])) Inversion von [oo] Selbstinversheit Problem -0 = 0 1/1 = 1 <∎> ∎ = ∎∎ = ∎∎∎ = ∎∎∎∎ = ... J = <J> ... = <JJJJ> = <JJ> = = JJ = JJJJ = ... , Zweideutigkeit von (([J]<[oo]>)) 1/±i = ∓i ab = -ab
Dreidimensionale Darstellung der eulerschen Formel ez*i = cos z + i sin z => (([z]([J]<[oo]>)))
Realanteil der komplexen Sinusfunktion
Imaginäranteil der komplexen Sinusfunktion an+1 = ([an]J) o -> (J) -> o -> (J) -> o -> ... <= (1 -> -1 -> 1 -> -1 -> 1 -> ...) an+1 = ([an][i]) o -> i -> (J) -> <i> -> o -> ... <= (1 -> i -> -1 -> -i -> 1 -> ...) an+1 = <([an][i])> o -> <i> -> (J) -> i -> o -> ... <= (1 -> -i -> -1 -> i -> 1 -> ...) ea*i = cos a + i sin a => (([a][i])) e-a*i = cos a - i sin a => (([<a>][i])) sin a = (ea*i - e-a*i)/2i => ([ (([a][i]))<(([<a>][i]))>]<[oo][i]>) cos a = (ea*i + e-a*i)/2 => ([ (([a][i])) (([<a>][i])) ]<[oo] >) ea = cosh a + sinh a => (a) e-a = cosh a - sinh a => (<a>) sinh a = (ea - e-a)/2 => ([(a)<(<a>)>]<[oo]>) cosh a = (ea + e-a)/2 => ([(a) (<a>) ]<[oo]>) sin(x + i y) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y) cos(x + i y) = cos(x) cosh(y) - i sin(x) sinh(y) sin(z) = -i sinh(i z) sinh(z) = -i sin(i z) cos(z) = cosh(i z) cosh(z) = cos(i z) sin'(z) = cos(z) sinh'(z) = cosh(z) cos'(z) = -sin(z) cosh'(z) = sinh(z) Einheitskreis x2 + y2 = 1 (([[x]][oo])) (([[y]][oo])) = o Einheitshyperbel x2 - y2 = 1 (([[x]][oo]))<(([[y]][oo]))> = o
