Elementare Zahlen
Das, was ich hier als elementare Zahlen vorstellen möchte, basiert auf einem Kalkül von Jeffrey M. James, das er in seiner Masterarbeit "A Calculus of Number Based on Spatial Forms" von 1993 vorgestellt hatte. Diese wiederum baut auf Ideen von John Horton Conway, George Spencer-Brown, Louis H. Kauffman und William Bricken auf. Das Kalkül von James erzeugt mit lediglich drei verschiedenen Klammern ausgehend von drei einfachen Axiomen einen sehr mächtigen Zahlenkörper mit vielen interessanten Eigenschaften.
Es ist mit der minimalistischen Notation ohne jeglichen syntaktischen Zucker zwar nicht praktikabel, eine Buchhaltung zu betreiben, dafür werden Rechenregeln und -gesetze auf eine anschauliche und fast schon meditative Art und Weise sichtbar gemacht.
Der Name "elementare Zahlen" ist dabei kein Zufall. Was das Kalkül bei uneingeschränkter Verschachtelung erzeugt, ist genau der Zahlkörper, den Timothy Chow 1999 als EL-Zahlen 𝔼 definiert hat, den Joseph Ritt 1948 in einer etwas größeren Fassung 𝕃 "elementare Zahlen" nannte, und den Andrzej Odrzywołek 2026 mit seinem System EML auf einen einzigen Operator eingedampft hat. Der erste Teil dieses Essays stellt das Kalkül selbst vor: die Axiome und ihre Folgerungen, das Rechnen mit Formen, Stellenwertsysteme und die transzendenten Konstanten e, π und i. Der zweite Teil ordnet es ein: Welche Zahlen sind überhaupt Formen? Was unterscheidet eine explizit von einer implizit gegebenen Zahl? Wo genau enden die algebraischen Zahlen (Satz von Gelfond-Schneider), und warum hängt fast alles Weitere an einer einzigen unbewiesenen Vermutung (Schanuel)? Zum Schluss geht es um die Bedeutung dieser Fragen für die Zahlentheorie und die angewandte Mathematik.
Das Kalkül verwendet drei verschiedene Klammern. Eine runde für die e-Funktion, eine eckige für den natürlichen Logarithmus ln(x) und eine spitze für die Inversion. Die damit konstruierten verschachtelten Baumstrukturen verwenden den Zeichenhintergrund gewissermaßen als leeren Raum, der durch ihre Grenzziehungen eine Struktur erhält. Da e0 gleich 1 ist, erhält man, wenn man ausschließlich runde Klammern für die e-Funktion zulässt, und nicht gestattet die Klammern zu verschachteln, ein Kalkül für die natürlichen Zahlen. Gestattet man zusätzlich spitze Klammern für die Inversion, welche mit den runden Klammern verschachtelt werden dürfen, erhält man die ganzen Zahlen. Zusammen mit eckigen Klammern für den natürlichen Logarithmus, welche aber nur abwechselnd mit den runden Klammern in diese verschachtelt werden dürfen, wobei für die spitzen Klammern weiterhin keine Einschränkungen existieren, ergeben sich die rationalen Zahlen. Man könnte diese auch als beliebig verschachtelte Multiplikationen und Inversionen von ganzen Zahlen beschreiben. Gestattet man zusätzlich Exponentiationen mit beliebig verschachtelten Basen und rationalen Exponenten, ergeben sich die durch Radikale darstellbaren algebraischen Zahlen.
Gibt man, mit Ausnahme von ln(0) mit wiederum zwei Einschränkungen, sämtliche Verschachtelungsmöglichkeiten frei, so erhält man einen Zahlenkörper mit interessanten Eigenschaften. Er ist abzählbar, jedes seiner Elemente ist berechenbar, er enthält e, π und i und mit ihnen alle Werte der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen an elementaren Stellen, aber, wie sich zeigen wird, vermutlich nicht einmal alle algebraischen Zahlen.
Lesehilfe. Der leere Raum steht für 0, die leere runde Klammer o = () für 1, das Nebeneinanderschreiben zweier Formen für ihre Summe. Die Beweise sind Ketten von Formen, von denen jede aus der vorhergehenden durch genau eine Regel hervorgeht; die Regel steht rechts daneben. Ein vorangestelltes Minus ("-Abbau1", "-Inversion von a") bedeutet, dass die Regel von rechts nach links gelesen wird, also Struktur eingeführt statt abgebaut wird; "2x" bedeutet zweimalige Anwendung. Abbau1 ist die Hälfte [(a)] = a von Axiom 1, Abbau2 die Hälfte ([a]) = a. Leerzeichen dienen nur der Ausrichtung und haben keine Bedeutung. Rechts neben vielen Formen steht zur Orientierung dieselbe Aussage in gewohnter Schreibweise.
Das Kalkül: Formen, Axiome, Theoreme
f1(x) = x f2(x) = -x f3(x) = ex f4(x) = ln x f3(f4(x)) = x eln x = x f4(f3(x)) = x ln ex = x <> - Inversion -0 = 0 () = o - Instanzierung e0 = 1 [] = ∎ - Abstraktion ln 0 = -∞ + [-∞...∞]i (vollständige Mehrdeutigkeit im Imaginärteil) [(a)] = ([a]) = a Abbau Axiom 1 ln ea = eln a = a (a[bc]) = (a[b])(a[c]) Distribution von a Axiom 2 ea + ln (b + c) = ea + ln b + ea + ln c a<a> = Inversion von a Axiom 3 a - a = 0 <<a>> = a Inversionsaufhebung (doppelte Inversion) Theorem 1 -(-a) = a <a><b> = <ab> Inversionszusammenfassung Theorem 2 (-a) + (-b) = -(a + b) Beweis der Inversionsaufhebung <<a>> <<a>><a>a -Inversion von a a Inversion von <a> Beweis der Inversionszusammenfassung <a><b> <a><b>ab<ab> -Inversion von ab <ab> Inversion von a und b Beweis der additiven Selbstinversheit des leeren Raumes -0 = 0 <> Inversion von Kardinalität von a (Aggregation zweiten Grades) a = ([a]) = ([a][o]) -Abbau2, -Abbau1 aa = ([a][o])([a][o]) = ([a][oo]) 2x a, -Distribution von [a] a...n = ([a][o...n]) Induktionsschritt über n ∈ ℕ a * b => ([a][b]) a / b => ([a]<[b]>) für b != Beweis der Assoziativität der Multiplikation (a*b)*c = a*(b*c) ([([a] [b])][c] ) ( [a] [b] [c] ) Abbau1 ( [a][([b] [c])]) -Abbau1 Beweis der multiplikativen Selbstinversheit von o 1/1 = 1 (<[o]>) (< >) Abbau1 ( ) Inversion von
Realteil des komplexen Logarithmus
Imaginärteil des komplexen Logarithmus - Riemannsche Fläche Absorption ([a]∎) = Null-Kardinalität von a Theorem 3 a * 0 = 0 Beweis der Null-Kardinalität von a ([a]∎) ([a]∎)([a][b])<([a][b])> -Inversion von ([a][b]) ([a][b])<([a][b])> -Distribution von [a] Inversion von ([a][b]) Unbestimmtheit der Kardinalität von ∎ innerhalb von () 0 = eln 0 = 0 * 0 = 0 * 0 * 0 = ... = (∎) = (∎∎) = (∎∎∎) = (∎∎∎∎) = ... -Abbau2, -Null-Kardinalität von = <> = [o] = (∎) = [(<>)] = ([<>]) = <[o]> = <(∎)> 3x Abbau1, 3x Abbau2, 5x Inversion von Undefiniertheit der Inversion von ∎ innerhalb von () (<∎>) = ([o]<∎>) <= 1/0 ist undefiniert (Singularität) 0 * ? = 1 Null hat kein multiplikatives Inverses 0/0 mehrdeutig 0/a = 0 a/a = 1 a/0 = ∞ Kardinalität von [a] (Aggregation dritten Grades) ([a]...[a]) = (([[a]][o...o])) (([[a]][b])) ab
Aufgrund der vollständigen Mehrdeutigkeit im Imaginärteil von ln 0 ist ∎ neben der Null-Kardinalität nur noch bei einer 0-Basis definiert.
0n = 0 n ∈ ℕ \ 0
(([∎][o...n]))
( ∎...n ) Kardinalität von ∎
( ∎ ) Unbestimmtheit der Kardinalität von ∎
Abbau2
0q = 0 q ∈ ℚ \ 0
(( [∎][ q ]))
(( [∎][([m] <[n]>)])) m, n ∈ ℕ \ 0
(( [∎] [m] <[n]> )) Abbau1
(([[(([∎] [m]))]]<[n]> )) 2x -Abbau1
(([[ ]]<[n]> )) 0m = 0
(( [∎] <[n]> )) Unbestimmtheit der Kardinalität von ∎
(( [∎] [(<[n]>)])) -Abbau1
Null-Kardinalität von (<[n]>)
00 = 1
(([∎]∎))
( ) Null-Kardinalität von ∎
a0 = 1
(([[a]]∎))
( ) Null-Kardinalität von [a]
a1 = a
(([[a]][o]))
(([[a]] )) Abbau1
a 2x Abbau2
Da die Multiplikation ebenso kommutativ ist wie die Addition, können Faktoren ebenso aggregiert werden wie Summanden. Die Aggregation ist der eigentliche Trick des Kalküls: Addition, Multiplikation und Exponentiation sind ein und dieselbe Operation, das Nebeneinanderschreiben, nur in verschiedenen Tiefen der Verschachtelung. Genau deshalb reichen e-Funktion und Logarithmus als einzige "echte" Operationen aus, und genau das ist auch der Grund, warum Chow und Odrzywołek (siehe unten) ihre Zahlkörper ausgerechnet über exp und ln definieren.
Addition 2 + 4 = 6 Multiplikation 2 * 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Exponentiation 24 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16 Tetration 42 = 2222 = 224 = 216 = 65.536 Hyper-5 24 = 2222 = 422 = 65.5362 = 2...2 65.536 mal - dafür ist unser Universum erheblich zu klein ...
Da die Exponentiation nicht kommutativ ist, können Exponenten nicht aggregiert dargestellt werden wie Summanden oder Faktoren. Dadurch verlieren Aggregationen ab hier gewissermaßen ihre Schönheit und somit ihre Nützlichkeit.
oo ooo 2 + 3 = 5
( [oo] [ooo] ) = oo oo oo 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6
(([[oo]] [ooo])) = ([oo] [oo] [oo]) 23 = 2 * 2 * 2 = 8
(([[oo]][ (([[oo]][oo])) ])) 32 = 222 = 16
(([[oo]][ (([[oo]][ (([[oo]][oo])) ])) ])) 23 = 222 = 42 = 2222 = 65.536
...
2+2 = 2*2 = 22 = 22 = 22 = ... = 4
Inversion
( [<a>]b ) = <( [a]b )> Inversionsbeförderung1 Theorem 4 -a * eb = -(a * eb)
(<[<a>]b>c) = <(<[a]b>c)> Inversionsbeförderung2 Theorem 5 1/(-a * eb) * ec = -(1/(a * eb) * ec)
Beweis der Inversionsbeförderung1
([<a>]b)
<([a]b)>([a]b)([<a>]b) -Inversion von ([a]b)
<([a]b)>([a <a>]b) -Distribution von b
<([a]b)>([ ]b) Inversion von a
<([a]b)>([ ] ) Null-Kardinalität von (b)
<([a]b)> Abbau2
Beweis der Inversionsbeförderung2
(c<b [<a>]> )
(c<b [<a>]><[<d>] >[<d>]) -Inversion von [<d>]
<(c<b [<a>]><[<d>] >[ d ])> Inversionsbeförderung1
<(c<b [<a>] [<d>] >[ d ])> Inversionszusammenfassung
<(c<b[ ([<a>] [<d>]) ]>[ d ])> -Abbau1
<(c<b[<<([ a ] [ d ])>>]>[ d ])> 2x Inversionsbeförderung1
<(c<b[ ([ a ] [ d ]) ]>[ d ])> Inversionsaufhebung
<(c<b [ a ] [ d ] >[ d ])> Abbau1
<(c<b [ a ]><[ d ] >[ d ])> -Inversionszusammenfassung
<(c<b [ a ]> )> Inversion von [d]
Rechnen mit Formen: Operatoren, Potenzen, Logarithmen
Die folgende Tabelle ist das Wörterbuch zwischen der gewohnten Schreibweise und den Formen. Man sieht, dass alle Operationen eines Taschenrechners auf Nebeneinanderschreiben, spitze, runde und eckige Klammern zurückgeführt werden. Die rot markierten Stellen zeigen jeweils, welcher Teilausdruck gerade umgeformt wird.
Operatoren
-a => <a>
a+b => ab
a+b+c => abc
a-b => a<b>
a*b => ([a][b])
a*b*c => ([a][b][c])
a*-b => ([a][<b>]) = <([a][b])> = ([<a>][b]) +-Inversionsbeförderung1
a/b => ([a]<[b]>) für b !=
1/b => ([o]<[b]>) = (<[b]>) Abbau1 für b !=
a/a => ([a]<[a]>) = o Inversion von [a] für a !=
ab => (([[a]][b]))
a1 => (([[a]][o])) = (([[a]])) = a Abbau1, 2x Abbau2
a-b => (([[a]][<b>]))
a1/b => (([[a]]<[b]>)) = (([[a]][(<[b]>)])) -Abbau1 für b !=
ac/b => (([[a]]<[b]>[c])) = (([[a]][(<[b]>[c])])) -Abbau1 für b !=
abc
(([[a]][(([[b]][c]))]))
(([[a]] ([[b]][c]) )) Abbau1
((ab)c)1/d = ab * c / d
(([[(([[(([[a]][b]))]][c]))]]<[d]>))
(( [[a]][b] [c] <[d]>)) 4x Abbau1
(1/a)b = a-b
( ([[(<[a]>)]][ b ]) )
( ([ <[a]> ][ b ]) ) Abbau1
(<([ [a] ][ b ])>) Inversionsbeförderung1
( ([ [a] ][<b>]) ) -Inversionsbeförderung1
ab * ac = ab + c
([(([[a]][b]))][(([[a]][c]))])
( ([[a]][b]) ([[a]][c]) ) 2x Abbau1
( ([[a]][b c]) ) Distribution von [[a]]
ac * bc = (a * b)c
([(([[a]][c]))] [(([[b]][c]))])
( ([[a]][c]) ([[b]][c]) ) 2x Abbau1
( ([[a] [b]][c]) ) Distribution von [c]
1 / e = e-1
([o]<[(o)]>)
( <[(o)]>)
( < o >) 2x Abbau1
1 / e2 = e-2
([o]<[(oo)]>)
( <[(oo)]>)
( < oo >) 2x Abbau1
ln (a * b) = ln a + ln b
[([a][b])]
[a][b] Abbau1
ln (a / b) = ln a - ln b
[([a]<[b]>)]
[a]<[b]> Abbau1
ln (ab) = ln a * b
[(([[a]][b]))]
([[a]][b]) Abbau1
logb a = ln a/ln b
([[a]]<[[b]]>)
1/(1/a) = a
(<[(<[a]>)]>)
(< <[a]> >) Abbau1
( [a] ) Inversionsaufhebung
a Abbau2
(1/a)*(1/b) = 1/(a*b)
([(< [a]>)][(<[b] >)])
( < [a]> <[b] > ) 2x Abbau1
( < [a] [b] > ) Inversionszusammenfassung
( <[([a] [b])]> ) -Abbau1
a/c + b/d = (a*d + b*c) / c*d
( [a] <[c]>)( [b] <[d]>)
( [a][d] <[d]><[c]>)( [b][c] <[c]><[d]>) -Inversion von [d] und [c]
( [a][d] <[d] [c]>)( [b][c] <[c] [d]>) 2x Inversionszusammenfassung
([([a][d])]<[d] [c]>)([([b][c])]<[c] [d]>) 2x -Abbau1
([([a][d]) ([b][c])]<[c] [d]>) -Distribution von <[c][d]>
1/a + 1/b = (a + b) / a*b
( <[a]>)( <[b]>)
([b]<[b]><[a]>)([a]<[a]><[b]>) -Inversion von [b] und [a]
([b]<[b] [a]>)([a]<[a] [b]>) 2x Inversionszusammenfassung
([b a]<[a] [b]>) -Distribution von <[a][b]>
(a + b) * (a - b) = a² - b²
([a b][a <b>])
([a b][a]) ([a b][<b>]) Distribution von [ab]
([a][a])([b][a]) ([a][<b>]) ([b][<b>]) Distribution von [a] und [<b>]
([a][a])([b][a])<([a][ b ])><([b][ b ])> 2x -Inversionsbeförderung1
([a][a]) <([b][ b ])> Inversion von ([a][b])
(([[a]][oo])) <(([[b]][oo]))> Kardinalität von [a] und [b]
Ein Vorgriff auf den zweiten Teil: Solange in (([[a]][b])) die Basis a algebraisch und der Exponent b rational ist, bleibt man bei den Radikalen, also innerhalb der algebraischen Zahlen. Beschränkt man den Exponenten sogar auf den einen Wert <[oo]>, also 1/2, so erhält man genau die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen. Sobald der Exponent eine irrationale algebraische Zahl ist, etwa 2√2 = (([[oo]]([[oo]]<[oo]>))), verlässt man die algebraischen Zahlen zwangsläufig. Das ist der Inhalt des Satzes von Gelfond-Schneider, auf den wir zurückkommen.
Nummern und Stelligkeit
Bis hierher wurden Zahlen als Strichlisten geschrieben: 43 ist eine Kette von 43 kleinen Kreisen. Ein Stellenwertsystem ist im Kalkül nichts weiter als eine abkürzende Schreibweise für die Multiplikation mit der Basis. Die geschweifte Klammer {a} steht für 10·a, die schräge Klammer /a\ für a/10; Übertrag, Zusammenfassung und Beförderung sind die vertrauten Regeln des schriftlichen Rechnens, hier aber aus den Axiomen abgeleitet.
Nummern
0 =>
1 => o
2 => oo
-1 => <o>
-2 => <oo>
1/2 => (<[oo]>)
2/3 => ([oo]<[ooo]>)
43 => ([b][oooo])ooo für b = oooooooooo
243 => ([b][([b][oo])oooo])ooo für b = oooooooooo
1243 => ([b][([b][boo])oooo])ooo für b = oooooooooo
Stelligkeit
{a} = ([oooooooooo][a]) Definition von {}
oooooooooo{a} = {o a} Übertrag+ Kardinalität von oooooooooo
{a}{b} = {ab} Zusammenfassung+
([{a}]b) = {([a]b)} Beförderung+
{} = Null-Kardinalität+
23 * 114 = 2622
([ {oo}ooo ] [ {{o}o}oooo ])
([{oo}][{{o}o}oooo]) ([ooo][{{o}o}oooo]) Distribution von [{{o}o}oooo]
{([ oo ][{{o}o}oooo])} ([ooo][{{o}o}oooo]) Beförderung+
{{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}oooo{{o}o}oooo{{o}o}oooo 2x -Kardinalität von {{o}o}oooo
{{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}{{o}o}{{o}o}oooooooooooo Zusammenfassung+ von o
{{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}{{o}o}{{o}oo} oo Übertrag+
{{{o}o} {{o}o} {o}{o}{o} oooooooooooo} oo Zusammenfassung+ von {o}
{{{o}o} {{o}o} {o}{o}{oo} oo} oo Übertrag+
{{{o} {o} oooooo} oo} oo Zusammenfassung+ von {{o}}
{{{ oo} oooooo} oo} oo Zusammenfassung+ von {{{o}}}
Inverse Stelligkeit
/a\ = (<[oooooooooo]>[a]) Definition von /\
/oooooooooo a\ = o/a\ Übertrag- Kardinalität von oooooooooo
/a\/b\ = /ab\ Zusammenfassung-
([/a\]b) = /([a]b)\ Beförderung-
/\ = Null-Kardinalität-
{/a\} = /{a}\ = a Stelligkeitsaufhebung
12,1 * 1,012 = 12,2452
([ {o}oo/o\ ] [ o//o/oo\\\ ])
([{o}][o//o/oo\\\]) ([oo][o//o/oo\\\]) ([/o\][o//o/oo\\\]) 2x Distribution von [o//o/oo\\\]
{([ o ][o//o/oo\\\])}([oo][o//o/oo\\\])/([ o ][o//o/oo\\\])\ 2x Beförderung ±
{ o//o/oo\\\ } o//o/oo\\\o//o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ 3x -Kardinalität von o//o/oo\\\
{o}{ //o/oo\\\ } o//o/oo\\\o//o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ -Zusammenfassung+
{o} /o/oo\\ o//o/oo\\\o//o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ Stelligkeitsaufhebung1
{o}oo /o/oo\\ //o/oo\\\ //o/oo\\\ /o//o/oo\\\ \ Zusammenfassung+ von o
{o}oo /oo/oo\ /o/oo\\ /o/oo\\ //o/oo\\\ \ Zusammenfassung- von /o\
{o}oo /oo/oooo /oo\ /oo\ /o/oo\\\ \ Zusammenfassung- von //o\\
{o}oo /oo/oooo /ooooo /oo\\\ \ Zusammenfassung- von ///o\\\
100 / 3 = 33,3...
([ {{o}} ]<[ooo]>)
{([ {o} ]<[ooo]>)} Beförderung+
{([oooooooooo]<[ooo]>)} -Übertrag+
{([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>) ([o]<[ooo]>)} 3x Distribution von <[ooo]>
{( )( )( ) ([o]<[ooo]>)} 3x Inversion von [ooo]
{ooo} {([o]<[ooo]>)} -Zusammenfassung+
{ooo} ([{o}]<[ooo]>) -Beförderung+
{ooo} ([oooooooooo]<[ooo]>) -Übertrag+
{ooo}([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>) ([o]<[ooo]>) 3x Distribution von <[ooo]>
{ooo}( )( )( ) ([o]<[ooo]>) 3x Inversion von [ooo]
{ooo}ooo ([/oooooooooo\]<[ooo]>) -Übertrag-
{ooo}ooo /([ oooooooooo ]<[ooo]>) \ Beförderung-
{ooo}ooo/([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([o]<[ooo]>) \ 3x Distribution von <[ooo]>
{ooo}ooo/( )( )( )([o]<[ooo]>) \ 3x Inversion von [ooo]
{ooo}ooo/ooo ([/oooooooooo\]<[ooo]>) \ -Übertrag-
{ooo}ooo/ooo /([ oooooooooo ]<[ooo]>)\\ Beförderung-
...
100 / 3,3 = 30,3030...
([ {{o}} ]<[ooo/ooo\]>)
{([ {o} ]<[ooo/ooo\]>)} Beförderung+
{([oooooooooo]<[ooo/ooo\]>)} -Übertrag+
{([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>)} -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung-
{([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito) ([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)} 3x Distribution von <[ooo/ooo\]>
{( )( )( ) ([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)} 3x Inversion von [ooo/ooo\]
{ooo} {([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)} -Zusammenfassung+
{ooo} ([{/o\}]<[ooo/ooo\]>) -Beförderung+
{ooo} ([ o ]<[ooo/ooo\]>) Stelligkeitsaufhebung1
{ooo} ([/oooooooooo\]<[ooo/ooo\]>) -Übertrag-
{ooo} /([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>) \ Beförderung-
{ooo} /([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>) \ -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung-
{ooo}/([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito) ([/o\]<[ooo/ooo\]>) \ 3x Distribution von <[ooo/ooo\]>
{ooo}/( )( )( ) ([/o\]<[ooo/ooo\]>) \ 3x Inversion von [ooo/ooo\]
{ooo}/ooo ([//oooooooooo\\]<[ooo/ooo\]>) \ -Übertrag-
{ooo}/ooo //([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>) \\\ 2x Beförderung-
{ooo}/ooo //([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>) \\\ -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung-
{ooo}/ooo//([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito)([/o\]<[ooo/ooo\]>) \\\ 3x Distribution von <[ooo/ooo\]>
{ooo}/ooo//( )( )( )([/o\]<[ooo/ooo\]>) \\\ 3x Inversion von [ooo/ooo\]
{ooo}/ooo//ooo ([//oooooooooo\\]<[ooo/ooo\]>) \\\ -Übertrag-
{ooo}/ooo//ooo //([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>)\\\\\ 2x Beförderung-
...
Auch der periodische Dezimalbruch ist damit eine Form, allerdings eine unendlich lange. Das ist ein erster Hinweis auf eine Unterscheidung, die im zweiten Teil wichtig wird: 100/3 hat die endliche Form ([{{o}}]<[ooo]>), aber keine endliche Form als Dezimalzahl. Der Zahlkörper, um den es hier geht, besteht ausschließlich aus Zahlen mit endlichen Formen.
Transzendentes: J, i und π
Realteil der komplexen Exponentialfunktion
Imaginärteil der komplexen Exponentialfunktion Transzendental J := [<o>] Phasen-Element Definition J := ln -1 = πi (~3.1415926535i) (J) = ([<o>]) = <o> Abbau2 eJ = eπi = -1 (o) Eulersche Zahl e1 = e (~2.71828182845) ((o)) ee (~15.1542622414) [<(a)>] = a[<o>] Phasenunabhängigkeit von a Theorem 6 ln -ea = a + ln -1 JJ = J-Aufhebung Theorem 7 J = <J> Selbstinversheit von J Theorem 8 i := (([J]<[oo]>)) imaginäre Einheit Definition i := √-1 = eJ/2 i = (<[<i>]>) = <(<[i]>)> imaginäre Einheit Theorem 9 i = 1/-i = -e-ln i ([<J>][i]) = <([J][i])> = ([J][<i>]) = ([J]<[i]>) Kreiszahl Pi π = -J*i = J*-i = J/i (~3.1415926535) (([[<o>]][<i>])) = (([[<o>]]<[i]>)) eπ = (-1)-i = (-1)1/i (~23.1406926328)
So wie ln im Imaginären um ein beliebiges Vielfaches von 2π mehrdeutig ist, so werden bei e alle (komplexen) Werte alle 2πi wiederholt. Um dieses abzubilden ist die J-Aufhebung und Selbstinversheit von J nur innerhalb einer Instanzierung zulässig, bzw. sie müssen in insgesamt mindestens einer Instanzierung mehr enthalten sein als in Abstraktionen. Andernfalls wäre ein Widersprüche produzierendes Wuchern von Phasen-Elementen möglich.
Die letzte Zeile der Tabelle ist mehr als eine Kuriosität. Dass eπ die Potenz (-1)-i einer algebraischen Basis mit einem algebraischen, irrationalen Exponenten ist, ist genau der Grund, warum man von eπ weiß, dass es transzendent ist (Gelfond-Schneider, siehe unten), während dieselbe Frage für ee = ((o)) und für πe bis heute offen ist.
Beweis der Phasenunabhängigkeit von a
[<(a)> ]
[<(a)>( [ ])] -Abbau2
[<(a)>(a[ ])] -Null-Kardinalität von (a)
[<(a)>(a[o <o>])] -Inversion von o
[<(a)>(a[o])(a[<o>])] Distribution von a
[<(a)>(a )(a[<o>])] Abbau1
[ (a[<o>])] Inversion von (a)
a[<o>] Abbau1
Beweis der J-Aufhebung
[<o>][<o>]
[<([<o>])>] -Phasenunabhängigkeit von [<o>]
[< <o> >] Abbau2
[ o ] Inversionsaufhebung
Abbau1
Beweis der Selbstinversheit von J
J
J< > -Inversion von
J<J J> -J-Aufhebung
J<J><J> -Inversionszusammenfassung
<J> Inversion von J
f1(x) = x2
f2(x) = √x
f1(f2(x)) = x (√x)2 = x
f2(f1(x)) = ±x √(x2) = ±x
Realteil und Imaginärteil der komplexen Quadratwurzel
Realteil und Imaginärteil der komplexen Kubikwurzel
Immer wenn der Exponent eine nichtganze rationale Zahl ist, gibt es eine Mehrdeutigkeit. Die Mehrdeutigkeit ist gleich dem (teilerfremden) Nenner. Wenn der Exponent kleiner 0 ist, ergibt die Basis gleich 0 einen entarteten Punkt.
i * i = i2 = -1
( [(([J]<[oo]>))] [(([J]<[oo]>))] )
(([ [(([J]<[oo]>))] ][oo])) Kardinalität von [(([J]<[oo]>))]
(( [J]<[oo]> [oo])) 2x Abbau1
(( [J] )) Inversion von [oo]
<o> 2x Abbau2
Beweis der imaginären Einheit
<(< [i]> )>
<(< [i]><[i] >[i])> Inversion von [i]
<(< [i] [i] >[i])> Inversionszusammenfassung
<(<[([i] [i])]>[i])> -Abbau1
<(<[ <o> ]>[i])> i * i = -1
<<(<[ o ]>[i])>> Inversionsbeförderung1
( [i]) Inversionsaufhebung, Abbau1, Inversion von
i Abbau2
-1 * -1 = 1
([<o>][<o>])
( ) J-Aufhebung
ee = ee
(([[(o)]][(o)]))
(( o )) 3x Abbau1
< a > = ([<([a])>]) = ([a][<o>]) = ([a]J) 2x-Abbau2, Phasenunabhängigkeit von [a]
[< a >] = [<([a])>] = [a][<o>] = [a]J -Abbau2, Phasenunabhängigkeit von [a]
<( a )> = ([<( a )>]) = ( a [<o>]) = ( a J) -Abbau2, Phasenunabhängigkeit von a
Unbestimmtheit der Kardinalität von J innerhalb von ()
... = (<JJJJ>) = (<JJ>) = o = (JJ) = (JJJJ) = ... J-Aufhebung, Inversion von
... = (<JJJ>) = (<J>) = (J) = (JJJ) = (JJJJJ) = ... J-Aufhebung, Selbstinversheit von J
π * i = J
([ ([<J>][i]) ][i])
( [<J>][i] [i]) Abbau1
( [<J>][<o> ]) i * i = -1
<<( [ J ][ o ])>> 2x Inversionsbeförderung1
J Inversionsaufhebung, Abbau1, Abbau2
J/i = π * i / i = π
([ J ]<[i]>)
([([ ([<J>][i]) ][i])]<[i]>) J = π * i
( [<J>][i] [i] <[i]>) 2x Abbau1
( [<J>][i] ) Inversion von [i]
ii = eJ*i/2 = e-π/2
(([[ (([J]<[oo]>)) ]][i]))
(( [J]<[oo]> [i])) 2x Abbau1
i-2i = eπ
(([[ (([J]<[oo]>)) ]][<i>][oo]))
(( [J]<[oo]> [<i>][oo])) 2x Abbau1
(( [J] [<i>] )) Inversion von [oo]
1/√a = √(1/a)
(<[(([ [a] ]<[oo]>))]>)
(< ([ [a] ]<[oo]>) >) Abbau1
( ([<[a]>]<[oo]>) ) -Inversionsbeförderung1
√9 = √±32 = ±3
(([[ ooooooooo ]]<[oo]>))
(([[( [ooo][ooo] )]]<[oo]>)) Kardinalität von ooo
(([[(([[ooo]][oo]))]]<[oo]>)) Kardinalität von [ooo]
(( [[ooo]][oo] <[oo]>)) 2x Abbau1
(( [[ooo]] )) Inversion von [oo]
ooo 2x Abbau2
und
(([[ ooooooooo ]]<[oo]>))
(([[ ( [ ooo ][ ooo ]) ]]<[oo]>)) Kardinalität von ooo
(([[<<( [ ooo ][ ooo ])>>]]<[oo]>)) -Inversionsaufhebung
(([[ ( [<ooo>][<ooo>]) ]]<[oo]>)) 2x -Inversionsbeförderung1
(([[ (([[<ooo>]][oo]) ) ]]<[oo]>)) Kardinalität von [<ooo>]
(( [[<ooo>]][oo] <[oo]>)) 2x Abbau1
(( [[<ooo>]] )) Inversion von [oo]
<ooo> 2x Abbau2
(√3)2 = 3
(([[ (([[ooo]]<[oo]>)) ]][oo]))
(( [[ooo]]<[oo]> [oo])) 2x Abbau1
(( [[ooo]] )) Inversion von [oo]
ooo 2x Abbau2
-22 = 22
(([[<oo>]][oo]))
([<oo>][<oo>]) -Kardinalität von [<oo>]
<<([ oo ][ oo ])>> 2x Inversionsbeförderung1
([ oo ][ oo ]) Inversionsaufhebung
(([[oo]][oo])) Kardinalität von [oo]
ab = ((±a2)1/2)b = -ab
(( [[ a ]] [b]))
(( [[ a ]][oo] <[oo]>[b])) -Inversion von [oo] !!! Zweideutigkeit
(([[ (([[ a ]][oo])) ] ]<[oo]>[b])) 2x -Abbau1
(([[ ( [ a ][ a ] ) ] ]<[oo]>[b])) -Kardinalität von [a]
(([[<<( [ a ][ a ] )>>] ]<[oo]>[b])) -Inversionsaufhebung
(([[ ( [<a>][<a>] ) ] ]<[oo]>[b])) 2x -Inversionsbeförderung1
(([[ (([[<a>]][oo])) ] ]<[oo]>[b])) Kardinalität von [<a>]
(( [[<a>]][oo] <[oo]>[b])) 2x Abbau1
(( [[<a>]] [b])) Inversion von [oo]
Dreidimensionale Darstellung der eulerschen Formel ez*i = cos z + i sin z => (([z]([J]<[oo]>)))
Realteil der komplexen Sinusfunktion
Imaginärteil der komplexen Sinusfunktion
an+1 = ([an]J) o -> (J) -> o -> (J) -> o -> ... <= (1 -> -1 -> 1 -> -1 -> 1 -> ...)
an+1 = ([an][i]) o -> i -> (J) -> <i> -> o -> ... <= (1 -> i -> -1 -> -i -> 1 -> ...)
an+1 = <([an][i])> o -> <i> -> (J) -> i -> o -> ... <= (1 -> -i -> -1 -> i -> 1 -> ...)
ea*i = cos a + i sin a => (([a][i]))
e-a*i = cos a - i sin a => (([<a>][i]))
sin a = (ea*i - e-a*i)/2i => ([ (([a][i]))<(([<a>][i]))>]<[oo][i]>)
cos a = (ea*i + e-a*i)/2 => ([ (([a][i])) (([<a>][i])) ]<[oo] >)
ea = cosh a + sinh a => (a)
e-a = cosh a - sinh a => (<a>)
sinh a = (ea - e-a)/2 => ([(a)<(<a>)>]<[oo]>)
cosh a = (ea + e-a)/2 => ([(a) (<a>) ]<[oo]>)
sin(x + i y) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)
cos(x + i y) = cos(x) cosh(y) - i sin(x) sinh(y)
sin(z) = -i sinh(i z)
sinh(z) = -i sin(i z)
cos(z) = cosh(i z)
cosh(z) = cos(i z)
sin'(z) = cos(z)
sinh'(z) = cosh(z)
cos'(z) = -sin(z)
cosh'(z) = sinh(z)
Einheitskreis x2 + y2 = 1 (([[x]][oo])) (([[y]][oo])) = o
Einheitshyperbel x2 - y2 = 1 (([[x]][oo]))<(([[y]][oo]))> = o
Damit ist der Vorrat eines wissenschaftlichen Taschenrechners vollständig: Grundrechenarten, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Winkel- und Hyperbelfunktionen samt Umkehrungen sind alle Formen aus drei Klammern. Die Konstanten o, J und i genügen, und selbst i ist nur eine Abkürzung für (([J]<[oo]>)). Das wirft die Frage auf, die den Rest dieses Essays beschäftigt: Welche Zahlen sind auf diese Weise überhaupt erreichbar, und welche nicht?
Der Körper der elementaren Zahlen: Chows 𝔼, Odrzywołeks EML und Ritts 𝕃
Timothy Chow hat 1999 in einem Aufsatz mit dem Titel "What is a closed-form number?" eine Frage gestellt, die jeder Mathematiklehrer kennt, aber kaum jemand präzise beantworten kann: Was ist eigentlich eine "exakte" Antwort? Als Lösung einer Aufgabe akzeptiert man 2/7, π√5, arctan 3 oder e1/e ohne Zögern. Aber ist "die reelle Nullstelle von x5 - x - 1" eine exakte Antwort? Und wenn nicht, warum nicht? Chows Vorschlag: Man legt ein Vokabular fest und erklärt genau diejenigen Zahlen für "geschlossen darstellbar", die sich aus diesem Vokabular in endlich vielen Schritten bauen lassen. Als Vokabular wählt er das kleinstmögliche, das noch einen Taschenrechner ergibt: die rationalen Zahlen, die vier Grundrechenarten, exp und ln.
Definition (Chow). Ein Teilkörper F von ℂ heißt abgeschlossen unter exp und log, wenn mit jedem x auch ex in F liegt und mit jedem x ≠ 0 auch ln x. Der Körper 𝔼 der EL-Zahlen ist der Durchschnitt aller Teilkörper von ℂ, die unter exp und log abgeschlossen sind, also der kleinste solche Körper. "EL" steht für "exponential-logarithmic" und zugleich für "elementary".
Wer das Kalkül von James bis hierher verfolgt hat, erkennt sofort: Das ist exakt die Menge der Formen. Die Übersetzung ist ein Wörterbuch mit fünf Einträgen.
Chow James
rationale Zahl p/q ([o...p]<[o...q]>)
Summe x + y xy
Produkt x * y ([x][y])
Negation -x, Kehrwert 1/x <x>, (<[x]>)
Exponentialfunktion ex (x)
Logarithmus ln x (x != 0) [x]
Jede Form ist eine EL-Zahl: Induktion über den Aufbau der Form. Der leere Raum ist 0 ∈ 𝔼;
Nebeneinanderschreiben, <>, () und [] führen nicht aus 𝔼 heraus,
weil 𝔼 ein Körper und unter exp und log abgeschlossen ist.
Jede EL-Zahl ist eine Form: Jedes Element von 𝔼 besitzt einen endlichen Ausdruck aus rationalen
Zahlen, Grundrechenarten, exp und log (Chow), und jeder Baustein
dieses Ausdrucks steht in der Tabelle.
Beispiele
e = exp(exp(0)) (o) = (())
i = exp(ln(-1)/2) (([J]<[oo]>)) mit J = [<o>]
π = -i * ln(-1) ([J]<[i]>)
√2 = exp(ln(2)/2) (([[oo]]<[oo]>))
ln 2 [oo]
sin 1 ([(i)<(<i>)>]<[oo][i]>)
2√2 (([[oo]]([[oo]]<[oo]>)))
eπ (([[<o>]][<i>])) = (([J]<[i]>))
Eine Feinheit betrifft den Logarithmus. Chow fixiert einen Zweig, im Kalkül ist [ ] mehrdeutig, und die J-Aufhebung, die JJ zum leeren Raum macht, regelt, wann 2πi als 0 gelten darf. Für die Menge der erreichbaren Zahlen spielt das keine Rolle, denn 2πi = JJ ist selbst eine Form, also liegen mit einem Zweig des Logarithmus stets alle Zweige in 𝔼. Chows Ausschluss von ln 0 entspricht der Ausnahme von ln(0) in der Einleitung.
Damit haben die "elementaren Zahlen" dieses Essays einen Namen in der Literatur: Der Zahlenkörper mit den interessanten Eigenschaften ist 𝔼. Chow beweist, dass 𝔼 abzählbar ist, und aus der expliziten Bauweise folgt, dass jede EL-Zahl berechenbar ist, man kann sie auf beliebig viele Stellen ausrechnen, indem man die Form von innen nach außen auswertet.
Odrzywołeks EML. Das Kalkül von James braucht drei Klammern. Andrzej Odrzywołek hat 2026 gezeigt, dass eine einzige zweistellige Operation genügt: eml(x, y) := ex - ln y ("exp minus log"). Zusammen mit der Konstanten 1 erzeugt sie, so der Titel seiner Arbeit, "alle elementaren Funktionen": e, π, i, die Grundrechenarten, Potenzen, Wurzeln, Winkel- und Hyperbelfunktionen samt Umkehrungen. Die Grammatik hat nur zwei Regeln: S → 1 | eml(S, S). Jeder Ausdruck ist ein Binärbaum aus lauter gleichen Knoten. Das ist so, als hätte man die drei Klammern von James zu einer einzigen verschmolzen, denn in Formen geschrieben ist eml(x, y) nichts anderes als (x)<[y]>. Die Bauanleitungen, die Odrzywołek durch Suche gefunden hat, lassen sich im Kalkül als kurze Beweise nachrechnen:
eml(x,y) = ex - ln y (x)<[y]>
e = eml(1,1) (o)<[o]> = (o) Abbau1, Inversion von
ex = eml(x,1) (x)<[o]> = (x) Abbau1, Inversion von
ln x = eml(1, eml(eml(1,x),1)) (o)<[((o)<[x]>)<[o]>]>
(o)<[((o)<[x]>)]> Abbau1, Inversion von
(o)<(o)<[x]>> Abbau1
(o)<(o)>[x] -Inversionszusammenfassung, Inversionsaufhebung
[x] Inversion von (o)
0 = ln 1 = eml(1, eml(eml(1,1),1))
x - y = eml(ln x, ey) ([x])<[(y)]> = x<y> Abbau2, Abbau1
Kürzeste EML-Ausdrücke (K = Anzahl der Symbole in umgekehrter polnischer Notation) Zahl K EML James e 3 eml(1,1) (o) e - 1 5 eml(1,eml(1,1)) (o)<o> ee 5 eml(eml(1,1),1) ((o)) 0 7 eml(1,eml(eml(1,1),1)) -1 17 eml(eml(1,eml(eml(1,eml(1,eml(1,1))),1)),eml(eml(1,1),1)) <o> 2 19 eml(1,eml(eml(eml(1,eml(eml(1,eml(1,eml(1,1))),1)),eml(1,1)),1)) oo πi 23 ln(-1) = eml(1,eml(eml(1,-1),1)) mit -1 wie oben [<o>] = J π > 53 (Odrzywołek, Tabelle 4) ([J]<[i]>) i > 55 (Odrzywołek, Tabelle 4) (([J]<[oo]>))
Die Werte für -1, 2 und πi stammen aus einer erschöpfenden Suche über alle EML-Bäume bis K = 25, die für diesen Essay durchgeführt wurde; -1 ist zum Beispiel (e - 1) - e, nämlich eml(ln(e-1), ee). Man sieht den Preis der Minimalität: EML hat die kleinste denkbare Grammatik, aber lange Ausdrücke; das Kalkül von James hat drei Klammertypen und dafür Ausdrücke, die man lesen kann. Beide Systeme erzeugen genau dieselben Zahlen. Mark Carney hat 2026 in "Inexpressibility in Exp-Minus-Log" formal bewiesen, dass die Menge der EML-Werte mit Chows 𝔼 übereinstimmt, dass jede EML-Zahl berechenbar ist, und dass folglich nicht berechenbare Zahlen wie Chaitins Haltewahrscheinlichkeit Ω außerhalb liegen. Odrzywołeks Motiv war übrigens nicht die Zahlentheorie, sondern das maschinelle Lernen: Ein Baum aus lauter gleichen Knoten lässt sich wie ein neuronales Netz mit Gradientenverfahren trainieren, und aus Messdaten fällt dann eine Formel heraus statt einer Zahlentabelle. Darauf kommen wir am Ende zurück.
Ritts 𝕃. Fünfzig Jahre vor Chow hatte Joseph Fels Ritt in "Integration in Finite Terms" (1948) bereits "elementare Zahlen" definiert, und zwar als den kleinsten Teilkörper von ℂ, der unter exp und log abgeschlossen und algebraisch abgeschlossen ist. Man nennt diesen Körper heute 𝕃 oder die Liouvillian numbers (nicht zu verwechseln mit den Liouville-Zahlen der Approximationstheorie). Der einzige Unterschied zu 𝔼 ist der Zusatz "algebraisch abgeschlossen": In 𝕃 liegt mit jedem Polynom, dessen Koeffizienten in 𝕃 liegen, auch jede seiner Nullstellen. Deshalb enthält 𝕃 sämtliche algebraischen Zahlen 𝔸, und es gilt 𝔼 ⊆ 𝕃. Dieser eine Zusatz ist der Übergang von der expliziten zur impliziten Spezifikation, und er verdient einen eigenen Abschnitt.
Explizit und implizit: Bauanleitung oder Steckbrief
Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Arten, eine Zahl anzugeben. Die eine ist die Bauanleitung: eine endliche Vorschrift, die von bekannten Zahlen ausgehend Schritt für Schritt die gesuchte Zahl erzeugt. Jede Form des Kalküls ist eine Bauanleitung, ebenso jeder EML-Baum und jeder Ausdruck in Chows Sinn. Die andere ist der Steckbrief: eine Eigenschaft, die die Zahl eindeutig kennzeichnet, ohne zu sagen, wie man sie baut. "Die positive Zahl, deren Quadrat 2 ist" ist ein Steckbrief; "die reelle Zahl x mit x + ex = 0" ist ein Steckbrief; "die Nullstelle von 2x5 - 10x + 5 zwischen 0 und 1" ist ein Steckbrief.
Für √2 gibt es beides, den Steckbrief x² = 2 und die Bauanleitung (([[oo]]<[oo]>)). Die Geschichte der Algebra ist zu einem großen Teil die Geschichte der Frage, ob sich jeder Steckbrief in eine Bauanleitung verwandeln lässt. Für Polynome vom Grad 2, 3 und 4 gelang das mit Wurzelausdrücken (Cardano, Ferrari, 16. Jahrhundert). Für Grad 5 bewiesen Abel (1824) und Galois (1832), dass es im Allgemeinen unmöglich ist: Eine algebraische Zahl hat genau dann eine Bauanleitung aus Wurzeln, wenn die Galoisgruppe ihres Minimalpolynoms auflösbar ist. Chows Beispiel ist das Polynom 2x5 - 10x + 5 mit der Galoisgruppe S5, die nicht auflösbar ist. Im Kalkül lässt sich der Steckbrief mühelos aufschreiben:
2a5 - 10a + 5 = 0 ([oo]([[a]][ooooo]))<([oooooooooo][a])>ooooo = Lösungen (numerisch): a ≈ -1,6005 a ≈ 0,5067 a ≈ 1,3289 a ≈ -0,1175 ± 1,5186 i Eine Form, die a löst, gibt es nicht - jedenfalls keine aus Wurzeln (Galois), und unter Schanuels Vermutung auch keine mit beliebig verschachtelten ( ) und [ ] (Chow, 1999).
Der zweite Satz ist bemerkenswert. Man hätte hoffen können, dass die transzendenten Klammern ( ) und [ ] mehr können als Wurzeln, denn sie erzeugen ja auch Sinus, Cosinus und Arcusfunktionen, und Hermite hat 1858 gezeigt, dass sich Gleichungen fünften Grades mit elliptischen Modulfunktionen lösen lassen. Chows Hauptresultat ist, dass dies mit exp und ln allein nicht geht: Wenn Schanuels Vermutung gilt, sind die algebraischen Zahlen in 𝔼 genau die durch Wurzeln darstellbaren. Der Sprung von den Radikalen zu den beliebig verschachtelten Formen fügt keine einzige algebraische Zahl hinzu, sondern ausschließlich transzendente. Mit dem Steckbrief "Nullstelle eines Polynoms" ist also ein eigener Sprung verbunden: von 𝔼 zu 𝕃.
Es gibt eine zweite Stufe. Wenn man als Steckbriefe nicht nur Polynomgleichungen zulässt, sondern Gleichungen, in denen die Unbekannte auch unter einer runden Klammer steht, erhält man die elementaren Zahlen im Sinn von Daniel Richardson (1997): Lösungen von Systemen von Exponentialpolynom-Gleichungen. Das einfachste Beispiel geht auf Ritt zurück:
a + ea = 0 a(a) = Lösung R ≈ -0,5671432904 (R = -W(1), W = Lambertsche W-Funktion) a * ea = 1 ([a]a) = o Lösung W(1) ≈ 0,5671432904 (Omega-Konstante) Satz (Lin 1983, unter Schanuels Vermutung): Ist f(x,y) ein irreduzibles Polynom mit algebraischen Koeffizienten, das beide Variablen enthält, und ist f(a, ea) = 0 für ein a != 0, dann liegt a nicht in 𝕃. Mit f(x,y) = x + y bzw. f(x,y) = xy - 1 folgt: R und W(1) liegen nicht in 𝕃, also erst recht nicht in 𝔼.
Die Gleichung a + ea = 0, im Kalkül a(a) = mit dem leeren Raum als rechter Seite, ist eine der kürzesten, die man überhaupt hinschreiben kann. Ihre Lösung hat trotzdem keine Form, und zwar nicht einmal, wenn man alle Nullstellen aller Polynome dazunimmt. Ferng-Ching Lin hat 1983 gezeigt, dass Ritts diesbezügliche Vermutungen aus Schanuels Vermutung folgen; die obige Fassung ist die, die Chow zitiert. Bemerkenswert ist wieder, dass der Beweis an Schanuel hängt: Ohne diese Vermutung weiß man nicht einmal, ob R vielleicht doch eine Form aus e, π und ein paar Wurzeln ist. Man weiß nur, dass niemand eine gefunden hat.
Jede Stufe hat ihre Antwort auf die Frage, wie man die Zahl praktisch ausrechnet. Eine Form wertet man von innen nach außen aus, das ist die direkte Berechnung. Einen Steckbrief löst man durch Iteration, etwa mit dem Newton-Verfahren: Man rät, setzt ein, korrigiert. Beide Wege liefern beliebig viele Stellen, beide Zahlenklassen sind berechenbar und abzählbar. Der Unterschied liegt nicht in der Berechenbarkeit, sondern in der Sprache: Eine explizite Zahl hat einen Namen im Vokabular, eine implizite Zahl nur eine Beschreibung. Und was ein Name ist, hängt vom Vokabular ab. Die Lambertsche W-Funktion ist genau deshalb 1996 (Corless u. a.) offiziell "getauft" worden, damit die Lösungen von Gleichungen wie a(a) = einen Namen bekommen, hier R = -W(1). Nach Chows Definition bleibt R trotzdem implizit, weil W nicht zum Vokabular gehört, und diese Entscheidung ist keine Willkür: Sie ist die Grenze zwischen dem, was ein Taschenrechner ohne Iteration kann, und dem, was er nur mit Iteration kann.
Gelfond-Schneider: wo die algebraischen Zahlen enden
Die Einleitung hat behauptet, dass man mit rationalen Exponenten bei den Radikalen bleibt. Was passiert, wenn der Exponent irrational wird? David Hilbert hat 1900 als siebtes seiner 23 Probleme gefragt, ob 2√2 transzendent ist, und hielt sie, einer bekannten Anekdote zufolge, für schwieriger als die Riemannsche Vermutung. Alexander Gelfond und Theodor Schneider haben sie 1934 unabhängig voneinander beantwortet:
Satz (Gelfond-Schneider). Sind a und b algebraische Zahlen mit a ≠ 0, a ≠ 1 und b irrational, so ist ab transzendent. Gleichwertig: Sind a und b algebraisch und beide von 0 und 1 verschieden, so ist ln a / ln b entweder rational oder transzendent.
Im Kalkül ist das eine Aussage über das Klammermuster (([[a]][b])), und es lohnt sich, sie neben die beiden älteren Sätze von Hermite und Lindemann zu stellen, die dasselbe für die einfachen Klammern sagen. Jede der drei Klammern führt auf ihre Weise aus den algebraischen Zahlen hinaus:
Form Wert algebraische Eingabe Ergebnis Satz
(a) ea a ∈ 𝔸, a != 0 transzendent Hermite (1873), Lindemann (1882)
[a] ln a a ∈ 𝔸, a != 0, a != 1 transzendent Hermite-Lindemann
(([[a]][b])) ab a ∈ 𝔸 \ {0,1}, b ∈ 𝔸 \ ℚ transzendent Gelfond-Schneider (1934)
([[a]]<[[b]]>) logb a a, b ∈ 𝔸 \ {0,1} rational oder transzendent Gelfond-Schneider
<a>, ab, ([a][b]) -a, a+b, a*b a, b ∈ 𝔸 algebraisch 𝔸 ist ein Körper
(([[a]]<[n]>)) n√a a ∈ 𝔸, n ∈ ℕ algebraisch Radikale
Beispiele 2√2 = (([[oo]]([[oo]]<[oo]>))) ≈ 2,6651441427 transzendent Gelfond-Schneider-Konstante √2√2 = (([[oo]]<[oo]>([[oo]]<[oo]>))) ≈ 1,6325269194 transzendent log2 3 = ([[ooo]]<[[oo]]>) ≈ 1,5849625007 transzendent irrational, da 2p != 3q eπ = (([[<o>]][<i>])) = (-1)-i ≈ 23,1406926328 transzendent Gelfondsche Konstante ii = (([J]<[oo]>[i])) = e-π/2 ≈ 0,2078795764 transzendent a = i, b = i ee = ((o)) ≈ 15,1542622415 unbekannt Basis nicht algebraisch πe = (([[J]<[i]>]o)) ≈ 22,4591577184 unbekannt Basis und Exponent nicht algebraisch e + π = (o)([J]<[i]>) ≈ 5,8598744820 unbekannt nicht einmal Irrationalität bewiesen e * π = (o[J]<[i]>) ≈ 8,5397342227 unbekannt aber: e + π oder e * π ist transzendent
Der Fall eπ zeigt, wie eng Kalkül und Zahlentheorie hier zusammenhängen. Auf den ersten Blick ist eπ eine Potenz mit transzendenter Basis und transzendentem Exponenten, auf die kein Satz anwendbar ist. Die Tabelle im Abschnitt über J zeigt aber (([[<o>]][<i>])): dieselbe Zahl als Potenz der algebraischen Basis -1 mit dem algebraischen, irrationalen Exponenten -i. Die Umformung ist nichts als Abbau und Inversionsbeförderung, und sie verwandelt eine hoffnungslose Frage in einen Anwendungsfall von Gelfond-Schneider. Gelfond hatte den Spezialfall eπ schon 1929 auf genau diesem Weg bewiesen. Für ee = ((o)) gibt es keine solche Umformung; man kennt keine Darstellung mit algebraischer Basis, und die Transzendenz ist offen.
Die letzte Zeile der Tabelle ist ein hübsches Argument: e + π und e·π sind die Koeffizienten des Polynoms (x - e)(x - π) = x² - (e + π)x + eπ. Wären beide algebraisch, so wären e und π Nullstellen eines Polynoms mit algebraischen Koeffizienten und damit selbst algebraisch. Also ist mindestens eine der beiden Zahlen transzendent, man weiß nur nicht, welche. Alan Baker hat 1966 den Satz von Gelfond-Schneider auf Linearkombinationen beliebig vieler Logarithmen ausgedehnt (dafür erhielt er 1970 die Fields-Medaille), also auf Formen der Gestalt b1[a1] b2[a2] ... mit algebraischen ai und bi. Aber alle diese Sätze betreffen jeweils ein Klammermuster. Die Frage, wie es sich mit beliebigen Formen verhält, beantwortet erst eine Vermutung.
Die Vermutung von Schanuel
Stephen Schanuel hat um 1960 eine Vermutung formuliert, die Serge Lang 1966 in seinem Buch "Introduction to Transcendental Numbers" veröffentlichte. Sie ist bis heute unbewiesen und gilt als die zentrale Vermutung der Transzendenztheorie, weil praktisch alles, was man über die Transzendenz von Formen weiß oder wissen möchte, aus ihr folgt.
Vermutung (Schanuel). Sind a1, ..., an komplexe Zahlen, die über ℚ linear unabhängig sind, so hat der Körper ℚ(a1, ..., an, ea1, ..., ean) mindestens den Transzendenzgrad n über ℚ. In Formen: Unter den 2n Zahlen a1, ..., an, (a1), ..., (an) sind mindestens n algebraisch unabhängig.
Anschaulich gesagt: Die runde Klammer hat keine Geheimnisse. Die einzigen algebraischen Beziehungen zwischen Zahlen und ihren Exponentialen sind diejenigen, die durch lineare Beziehungen mit rationalen Koeffizienten zwischen den Exponenten erzwungen werden. Und da eine Instanzierung im Kalkül eine Linearkombination in ein Produkt verwandelt, (ab) = ([(a)][(b)]), sind das genau die Beziehungen, die das Kalkül ohnehin beweisen kann. Schanuels Vermutung besagt, dass das Kalkül vollständig ist, was algebraische Beziehungen zwischen seinen Konstanten angeht: Was es nicht beweisen kann, gilt auch nicht.
Spezialfälle und Folgerungen
n = 1, a != 0: a oder (a) ist transzendent Hermite-Lindemann (bewiesen)
alle ai algebraisch: (a1), ..., (an) algebraisch unabhängig Lindemann-Weierstrass (bewiesen, 1885)
a1 = [a], a2 = ([b][[a]]) mit a, b ∈ 𝔸, b ∉ ℚ: Transzendenzgrad von ℚ([a], ([b][[a]]), a, (([[a]][b]))) ist >= 2;
a ist algebraisch, also ist (([[a]][b])) = ab transzendent Gelfond-Schneider (bewiesen)
a1 = o, a2 = J: Transzendenzgrad von ℚ(1, πi, e, -1) ist >= 2,
also sind e und π algebraisch unabhängig offen
und damit e + π und e * π transzendent offen
a1 = o, a2 = (o): e und ee algebraisch unabhängig, insbesondere ee transzendent offen
weitere Folgerungen: πe, ee², ln π transzendent; e, π und ln 2 algebraisch unabhängig offen
Was aus Schanuel für die elementaren Zahlen folgt Chow (1999) 𝔼 ∩ 𝔸 = Radikalzahlen; die Nullstellen von 2x5 - 10x + 5 liegen nicht in 𝔼 Lin (1983) die Lösung von a(a) = liegt nicht in 𝕃 Richardson (1997) es ist entscheidbar, ob eine elementare Zahl (auch eine implizit gegebene) gleich 0 ist Macintyre, Wilkie (1996) die Theorie der reellen Zahlen mit +, * und exp ist entscheidbar (Tarskis Problem) Zilber (2005) Schanuel als Axiom: die "Pseudo-Exponentiation" macht aus ℂ mit exp eine kategorische Struktur
Die Zeile mit o und J verdient einen zweiten Blick. Das Kalkül kennt zwischen seinen Konstanten genau eine Überraschung, die eulersche Identität (J) = <o>: Die Instanzierung von J ist algebraisch, nämlich -1. Schanuels Vermutung erlaubt eine solche Überraschung, denn o und J sind linear unabhängig und unter o, J, (o), (J) müssen nur zwei algebraisch unabhängige Zahlen sein; das sind dann e und π. Aber sie besagt zugleich, dass es keine zweite Überraschung gibt: Alle Beziehungen zwischen e, π und i, die in diesem Essay hergeleitet wurden, eπ = (-1)-i, ii = e-π/2, π = J/i, sind Folgerungen aus der einen Identität, und andere gibt es nicht. Man kann das präzise machen: Giuseppina Terzo hat 2008 gezeigt, dass unter Schanuels Vermutung in dem von e, π und i erzeugten Exponentialring die eulersche Identität, bis auf ihre Folgerungen, die einzige Relation ist.
Was ist bewiesen? Der Fall n = 1 (Hermite-Lindemann), der Fall lauter algebraischer ai (Lindemann-Weierstrass), Gelfond-Schneider und Bakers Satz sind die bewiesenen Ecken der Vermutung. Der allgemeine Fall n = 2 ist offen, und schon er würde die algebraische Unabhängigkeit von e und π liefern. Angus Macintyre und Alex Wilkie haben gezeigt, dass für die Entscheidbarkeit der reellen Exponentialfunktion sogar eine schwächere, rein reelle Fassung genügt, und dass umgekehrt die Entscheidbarkeit diese schwache Fassung impliziert; Vermutung und Algorithmus sind also dasselbe Problem in zwei Sprachen.
Landkarte der Zahlkörper
Die folgende Übersicht fasst zusammen, welche Zahlenklassen durch welche Art von Spezifikation entstehen. Jede Zeile ist eine echte Obermenge der vorhergehenden. Bei den beiden mit Schanuel markierten Stufen hängt die Echtheit des Sprungs an der Vermutung; alle Klassen bis auf ℂ sind abzählbar, und alle bis auf ℂ bestehen aus berechenbaren Zahlen.
Klasse Spezifikation Vertreter Form
ℕ runde Klammern, unverschachtelt 3 ooo
ℤ + spitze Klammern -2 <oo>
ℚ + eckige Klammern, abwechselnd mit runden 2/3 ([oo]<[ooo]>)
ℚcon konstruierbare Zahlen + der eine Exponent <[oo]>, also 1/2 √2, i, (1+√5)/2, cos 2π/17 (([[oo]]<[oo]>)), (([J]<[oo]>))
𝕆 Origami-Zahlen + der Exponent <[ooo]>, also 1/3 ∛2, cos 20° (([[oo]]<[ooo]>))
ℚrad Radikalzahlen + alle Exponenten <[n]> ⁵√7, alle Wurzelausdrücke (([[ooooooo]]<[ooooo]>))
𝔼 EL-Zahlen (Chow) beliebige Verschachtelung = alle Formen = EML e, π, ln 2, 2√2, eπ, sin 1 (o), ([J]<[i]>), [oo], (([[<o>]][<i>]))
---------------------------------------- Grenze der Bauanleitungen, ab hier nur noch Steckbriefe ----------------------------------------
𝕃 elementare Zahlen (Ritt), 𝔼 + Nullstellen aller Polynome Nullstellen von 2x5 - 10x + 5, keine Form (Schanuel)
Liouvillian numbers (algebraischer Abschluss) alle algebraischen Zahlen 𝔸
ℰ elementare Zahlen (Richardson) Lösungen von Systemen aus Exponentialpolynomen R = -W(1) aus a(a) = keine Form, nicht einmal in 𝕃 (Schanuel)
berechenbare Zahlen ein Algorithmus liefert jede Stelle γ, ζ(3), Γ(1/4) unbekannt, ob elementar
ℂ - Chaitins Ω, fast alle Zahlen nicht einmal berechenbar
Innerhalb der algebraischen Zahlen: ℚ ⊂ ℚcon ⊂ 𝕆 ⊂ ℚrad ⊂ 𝔸, und 𝔼 ∩ 𝔸 = ℚrad (Chow, unter Schanuel)
Die beiden Stufen zwischen ℚ und den Radikalzahlen sind geometrischen Ursprungs. Zirkel und Lineal beherrschen genau eine irrationale Operation, das Ziehen einer Quadratwurzel; die konstruierbaren Zahlen ℚcon sind deshalb der kleinste Teilkörper von ℂ, der unter dem Muster (([[a]]<[oo]>)) abgeschlossen ist, im Kalkül also die Stufe, auf der als Exponent allein <[oo]> zugelassen ist. Beim Papierfalten kommt genau eine weitere hinzu: Nach einem Satz von Roger Alperin (2000) sind die Origami-Zahlen 𝕆 der kleinste unter Quadratwurzeln und Kubikwurzeln abgeschlossene Teilkörper, im Kalkül also <[oo]> und <[ooo]>. Deshalb gelingt durch Falten, was mit Zirkel und Lineal unmöglich ist: die Verdopplung des Würfels und die Dreiteilung des Winkels, beides zuerst gezeigt von Margherita Beloch 1936. Mit dem eingekerbten Lineal (Neusis) gelingt beides ebenfalls, doch ist dort der genaue Umfang des erreichbaren Körpers bis heute nicht abschließend geklärt.
Bei ℚcon ist eine Falle eingebaut, die zeigt, wie wenig der bloße Grad einer Zahl verrät. Es genügt nicht, dass der Grad eine Zweierpotenz ist; konstruierbar ist eine algebraische Zahl genau dann, wenn die Galoisgruppe ihres Zerfällungskörpers eine 2-Gruppe ist:
Zahl Minimalpolynom Grad Galoisgruppe konstruierbar √2 x2 - 2 2 ℤ/2, Ordnung 2 ja (1+√5)/2 x2 - x - 1 2 ℤ/2, Ordnung 2 ja, das regelmäßige Fünfeck cos 2π/17 256x8 + 128x7 - ... - 8x + 1 8 ℤ/8, Ordnung 8 ja, das Siebzehneck (Gauß 1796) ⁴√2 x4 - 2 4 D4, Ordnung 8 ja 1,2207... x4 - x - 1 4 S4, Ordnung 24 nein, obwohl der Grad passt ∛2 x3 - 2 3 S3, Ordnung 6 nein, wohl aber durch Falten cos 20° 8x3 - 6x - 1 3 ℤ/3, Ordnung 3 nein, wohl aber durch Falten cos 2π/7 8x3 + 4x2 - 4x - 1 3 ℤ/3, Ordnung 3 nein, das Siebeneck
Zwei Dinge fallen auf. Erstens zerfällt die Landkarte in zwei Hälften: Oberhalb der Linie hat jede Zahl eine Form, unterhalb nur noch eine Gleichung. Zweitens liegt die Grenze der algebraischen Zahlen quer zu dieser Linie. 𝔼 enthält transzendente Zahlen wie e und π, aber unter Schanuels Vermutung nicht alle algebraischen; 𝔸 enthält alle algebraischen, aber keine transzendenten. Dass 𝔼 und 𝔸 sich genau in den Radikalzahlen schneiden, ist Chows Satz und die eigentliche Pointe der Einleitung: Die Stufe "rationale Exponenten" in der Konstruktion des Kalküls ist nicht bloß eine Zwischenstation, sondern die letzte, auf der das Kalkül algebraische Zahlen gewinnt.
Drittens, und das ist vielleicht der schönste Zug dieser Landkarte: Jede einzelne Grenze ist ein berühmter Unmöglichkeitssatz. Die Übersicht ist damit nicht bloß eine Ordnung von Mengen, sondern eine Chronik von zweitausend Jahren Mathematik, in der jede Stufe dadurch entstand, dass jemand bewies, dass man mit den bisherigen Mitteln nicht weiterkommt.
Grenze Satz die Frage, an der sie sich entzündete
ℚcon ⊂ 𝕆 Wantzel 1837 Lässt sich der Würfel verdoppeln, der Winkel dritteln?
ℚrad ⊂ 𝔸 Abel 1824, Galois 1832 Lässt sich jede Gleichung durch Wurzeln lösen?
𝔼 ⊄ 𝔸 Lindemann 1882 Lässt sich der Kreis quadrieren? (π ist transzendent)
Gelfond, Schneider 1934 Ist 2√2 transzendent? (Hilberts siebtes Problem)
𝔸 ⊄ 𝔼, also 𝔼 ⊂ 𝕃 Chow 1999, unter Schanuel Hat jede algebraische Zahl eine Form?
𝕃 ⊂ ℰ Lin 1983, unter Schanuel Hat die Lösung von a(a) = eine Form?
ℰ ⊂ ℂ Cantor 1874, Turing 1936 Hat überhaupt jede Zahl einen Namen?
Die drei klassischen Probleme der Griechen liegen dabei nicht an derselben Grenze. Würfelverdopplung und Winkeldreiteilung scheitern bereits am Übergang von den Quadratwurzeln zu den übrigen Radikalen, also ganz unten in der Landkarte, und sind mit einem Blatt Papier lösbar. Die Quadratur des Kreises scheitert erst drei Stufen höher, dort wo die algebraischen Zahlen überhaupt enden, und ist mit keinem mechanischen Hilfsmittel dieser Art lösbar. Zugleich sind die konstruierbaren Zahlen die expliziteste Stufe der ganzen Landkarte: Hier ist die Bauanleitung nicht nur eine Formel, sondern eine Handbewegung.
Bedeutung für Zahlentheorie und angewandte Mathematik
Zahlentheorie. Das Kalkül macht sichtbar, worum es in der Transzendenztheorie eigentlich geht: um Klammermuster. Hermite und Lindemann haben die einfache runde und die einfache eckige Klammer verstanden, Gelfond und Schneider das Muster (([[a]][b])), Baker die Linearkombinationen von eckigen Klammern. Schanuels Vermutung ist die Behauptung, dass alle Muster auf einmal verstanden sind. Dass diese Vermutung so widerstandsfähig ist, liegt daran, dass sie zwei Welten verbindet, die lange getrennt waren. Die eine ist die Galoistheorie des 19. Jahrhunderts, die nach Bauanleitungen aus Wurzeln fragt; die andere ist die Transzendenztheorie des 20. Jahrhunderts, die nach der Reichweite von exp und ln fragt. Chows Satz ist die Brücke: Unter Schanuel fällt die Antwort beider Theorien auf die Frage "Was ist eine geschlossene algebraische Zahl?" zusammen. Ein drittes Gebiet ist hinzugekommen, die Modelltheorie. Boris Zilber hat 2005 gezeigt, dass man Schanuels Vermutung als Axiom eines abstrakten "Exponentialkörpers" auffassen kann und dass es dann in jeder überabzählbaren Mächtigkeit genau einen solchen Körper gibt; die Vermutung, dass ℂ mit exp dieser Körper ist, ist eine Verschärfung von Schanuel mit modelltheoretischen Mitteln. Alex Wilkie hat 1996 bewiesen, dass die reellen Zahlen mit exp "o-minimal" sind, also eine zahme Geometrie ohne pathologische Mengen haben; dieses Resultat ist unbedingt, es braucht Schanuel nicht. Schließlich ist die Abzählbarkeit von 𝔼, 𝕃 und ℰ eine Erinnerung daran, dass fast alle komplexen Zahlen weder eine Bauanleitung noch einen Steckbrief besitzen: Was man benennen kann, ist eine Nullmenge.
Angewandte Mathematik. Die praktische Bedeutung liegt an einer unscheinbaren Stelle: bei der Frage, ob ein Ausdruck gleich 0 ist. Jedes Computeralgebrasystem muss Ausdrücke vereinfachen, und Vereinfachen heißt, Gleichheit zu erkennen, also Differenzen als 0 zu erkennen. Daniel Richardson hat 1968 bewiesen, dass dieses Problem für Ausdrücke in einer Variablen, die aus rationalen Zahlen, π, ln 2, den Grundrechenarten, exp, sin und dem Betrag gebildet sind, unentscheidbar ist; es gibt keinen Algorithmus, der immer richtig antwortet. Für Konstanten, also für elementare Zahlen ohne Variable, hat derselbe Richardson 1997 gezeigt, dass das Problem entscheidbar ist, sofern Schanuels Vermutung gilt. Die Vermutung ist damit das stillschweigende Fundament jeder Vereinfachungsroutine. In der Praxis behilft man sich mit numerischen Tests: Man wertet beide Seiten mit hoher Genauigkeit aus und schließt aus der Übereinstimmung auf Gleichheit. Odrzywołek hat seine EML-Bauanleitungen genau so verifiziert, indem er algebraisch unabhängige Konstanten wie die Euler-Mascheroni-Konstante γ einsetzte und mit dem Argument, dass eine zufällige Übereinstimmung unter Schanuel "verschwindend unwahrscheinlich" sei, Gleichheit annahm.
Die Umkehrung dieser Aufgabe ist das inverse symbolische Rechnen: Gegeben eine Dezimalzahl, etwa 0,2078795763..., gesucht eine Form. Programme wie der Inverse Symbolic Calculator oder RIES durchsuchen dafür einen Vorrat an Ausdrücken. Das ist nur sinnvoll, wenn zwei Dinge festgelegt sind: das Vokabular, das ist Chows Beitrag, und ein Maß für die Komplexität eines Ausdrucks, damit man die einfachste Form bevorzugen kann. EML liefert ein solches Maß gratis, die Zahl K der Knoten des Baums, und das Kalkül von James ein anderes, die Zahl der Klammern. Beide ordnen die elementaren Zahlen nach ihrer "Kürze", und die Suche nach dem kürzesten Ausdruck ist eine Frage, die man ohne solche Systeme gar nicht stellen kann. Odrzywołeks eigentliches Ziel geht noch einen Schritt weiter: Weil ein EML-Baum aus lauter gleichen Knoten besteht, kann man ihn wie ein neuronales Netz behandeln, seine Struktur mit Gradientenverfahren an Messdaten anpassen und die gefundene Struktur anschließend als Formel ablesen. In seinen Versuchen wurden Formeln bis zur Baumtiefe 4 exakt wiedergefunden. Das ist die alte Hoffnung, aus Daten Gesetze zu gewinnen wie Kepler aus Tycho Brahes Tabellen, in einer Form, die sich mit heutigen Werkzeugen rechnen lässt.
Die Entscheidbarkeit der reellen Exponentialfunktion (Macintyre-Wilkie) hat Folgen für die Verifikation von Programmen und dynamischen Systemen. Die Lösungen linearer Differentialgleichungen sind Exponentialpolynome, und die Frage, ob ein solches System jemals einen verbotenen Zustand erreicht, ist eine Frage über Nullstellen von Exponentialpolynomen; auch hier sind die bekannten Entscheidungsverfahren unter der Annahme von Schanuel formuliert. Und schließlich spiegelt die Unterscheidung von explizit und implizit die alltägliche Praxis der Numerik: Was eine Form hat, wird ausgewertet, was nur eine Gleichung hat, wird iteriert. Die Lambertsche W-Funktion, mit der die Lösung von a(a) = seit 1996 einen Namen trägt, ist das Musterbeispiel dafür, wie eine implizite Zahl durch Taufe explizit wird, und dafür, dass diese Taufe eine Entscheidung über das Vokabular ist und keine mathematische Entdeckung.
Schluss. Das Kalkül von James ist mit seinen drei Klammern nicht nur ein hübsches Spielzeug für Rechengesetze. Die Stufen, in denen es aufgebaut wird, sind die Stufen der Zahlentheorie: Runde Klammern ergeben ℕ, spitze ℤ, eckige ℚ, rationale Exponenten die Radikalzahlen, und die freie Verschachtelung ergibt Chows 𝔼, dieselbe Menge, die Odrzywołek mit einem einzigen Operator erzeugt. Jenseits davon kann das Kalkül Gleichungen aufschreiben, aber nicht lösen; dort beginnen Ritts 𝕃 und Richardsons ℰ. Wo genau die Grenzen liegen, ob die Nullstellen eines Polynoms fünften Grades wirklich keine Form haben, ob e und π wirklich nichts miteinander zu tun haben außer (J) = <o>, entscheidet eine einzige Vermutung, die seit mehr als sechzig Jahren offen ist.
Literatur
Kalkül
James, J. M.: A Calculus of Number Based on Spatial Forms. M.Sc. Thesis, University of Washington, 1993.
Bricken, W.: Iconic Arithmetic, Band I-III, 2019-2021. iconicmath.com
Elementare Zahlen
Chow, T. Y.: What is a closed-form number? American Mathematical Monthly 106 (1999), 440-448.
Ritt, J. F.: Integration in Finite Terms. Liouville's Theory of Elementary Methods. Columbia University Press, 1948.
Lin, F.-C.: Schanuel's conjecture implies Ritt's conjectures. Chinese Journal of Mathematics 11 (1983), 41-50.
Richardson, D.: Some undecidable problems involving elementary functions of a real variable. Journal of Symbolic Logic 33 (1968), 514-520.
Richardson, D.: How to recognize zero. Journal of Symbolic Computation 24 (1997), 627-645.
Odrzywołek, A.: All elementary functions from a single binary operator. arXiv:2603.21852, 2026.
Carney, M.: Inexpressibility in Exp-Minus-Log. arXiv:2605.01636, 2026.
Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E.: On the Lambert W function. Advances in Computational Mathematics 5 (1996), 329-359.
Wikipedia: Elementary number, Closed-form expression
Konstruierbarkeit
Wantzel, P. L.: Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 2 (1837), 366-372.
Gauß, C. F.: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig 1801 (Abschnitt VII: konstruierbare regelmäßige Vielecke).
Beloch, M. P.: Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici. Periodico di Matematiche 16 (1936), 104-108.
Alperin, R. C.: A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers. New York Journal of Mathematics 6 (2000), 119-133.
Transzendenz
Gelfond, A. O.: Sur le septième problème de Hilbert. Izvestija Akademii Nauk SSSR 7 (1934), 623-634.
Schneider, Th.: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I. Journal für die reine und angewandte Mathematik 172 (1934), 65-69.
Baker, A.: Transcendental Number Theory. Cambridge University Press, 1975.
Lang, S.: Introduction to Transcendental Numbers. Addison-Wesley, 1966 (enthält Schanuels Vermutung).
Macintyre, A.; Wilkie, A. J.: On the decidability of the real exponential field. In: Kreiseliana. About and Around Georg Kreisel, A K Peters, 1996, 441-467.
Wilkie, A. J.: Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function. Journal of the AMS 9 (1996), 1051-1094.
Zilber, B.: Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero. Annals of Pure and Applied Logic 132 (2005), 67-95.
Terzo, G.: Some consequences of Schanuel's conjecture in exponential rings. Communications in Algebra 36 (2008), 1171-1189.
Wikipedia: Satz von Gelfond-Schneider, Schanuel's conjecture, Tarski's exponential function problem, Richardson's theorem
Das Essay wurde mit Claude Faible 5.1 erweitert.
