Elementare Mathematik

Basiert auf "A Calculus of Number Based on Spatial Forms" von Jeffrey M. James 1993.



f1(x) = x
f2(x) = -x
f3(x) = ex
f4(x) = ln x
f3(f4(x)) = x   eln x = x
f4(f3(x)) = x   ln ex = x

<>     - Inversion        -0 = 0
() = o - Instanzierung    e0 = 1
[] = ∎ - Abstraktion    ln 0 = -∞ + [-∞...∞]i

   [(a)] = ([a]) = a     Abbau                                       Axiom 1     ln ea = eln a = a
 (a[bc]) = (a[b])(a[c])  Distribution von a                          Axiom 2     ea + ln (b + c) = ea + ln b + ea + ln c
    a<a> =               Inversion von a                             Axiom 3     a - a = 0
   <<a>> = a             Inversionsaufhebung  (doppelte Inversion)   Theorem 1   -(-a) = a
  <a><b> = <ab>          Inversionszusammenfassung                   Theorem 2   (-a) + (-b) = -(a + b)

Beweis der Inversionsaufhebung     für a != ∎
<<a>>
<<a>><a>a   -Inversion von a
        a   Inversion von <a>

Beweis der Inversionszusammenfassung     für a,b != ∎
<a><b>
<a><b>ab<ab>   -Inversion von ab
        <ab>   Inversion von a und b

Beweis der additiven Selbstinversheit des Nichts   -0 = 0
<>
     Inversion des Nichts

Kardinalität von a (zweiten Grades) (Anzahl)
    a = ([a]) = ([a][o])             -Abbau2, -Abbau1
   aa = ([a][o])([a][o]) = ([a][oo]) 2x a, -Distribution von [a]
a...a = ([a][o...o])                 Induktionsschritt über alle natürlichen Zahlen

a * b    =>  ([a][b])
a / b    =>  ([a]<[b]>)     für b !=

Beweis der Assoziativität der Multiplikation   (a*b)*c = a*(b*c)
([([a]  [b])][c]  )
(  [a]  [b]  [c]  )   Abbau1
(  [a][([b]  [c])])   -Abbau1

Beweis der multiplikativen Selbstinversheit von o   1/1 = 1
(<[o]>)
(<   >)   Abbau1
(     )   Inversion des Nichts


Realanteil des komplexen Logarithmus


Imaginäranteil des komplexen Logarithmus - Riemannsche Fläche

Absorbtion
([a]∎) =      Null-Kardinalität von a             Theorem 3   a * 0 = 0
   ∎ a = ∎    Absorbtion von a (schwarzes Loch)   Theorem 4   ∎ + a = ∎

Beweis der Null-Kardinalität
([a]∎)
([a]∎)([a][b])<([a][b])>   -Inversion von ([a][b])
      ([a][b])<([a][b])>   -Distribution von [a]
                           Inversion von ([a][b])

Beweis der Absorbtion
  ∎   a
[(∎ [(a)])]   2x -Abbau1
[         ]   Null-Kardinalität von (a)

Beweis der Null-Kardinalität
([a]∎)
(   ∎)   Absorbtion von [a]
         Abbau2

Unbestimmtheit der Kardinalität von ∎
 ∎ = ∎∎ = ∎∎∎ = ∎∎∎∎ = ...    -Absorbtion von ∎

  = <> = [o] = (∎) = [(<>)] = ([<>]) =  <[o]> = <(∎)> 5x Inversion des Nichts, 3x Abbau1, 3x Abbau2

Undefiniertheit der Inversion von ∎
(<∎>) = ([o]<∎>) <= 1/0 ist undefiniert (Singularität)

0 * ? = 1   Null hat kein multiplikatives Inverses
0/0 mehrdeutig
0/a = 0   a/a = 1   a/0 = ∞

inverse Absorbtion
<∎>  a
<∎><<a>>   -Inversionsaufhebung
<∎  <a>>   Inversionszusammenfassung
<∎     >   Absorbtion von <a>

∎<∎>   -Inversion von ∎
 =>  Absorbtion von <∎> oder inverse Absorbtion von ∎
 =>  Möglichkeit der beliebigen Absorbtion von Allem überall
 =>  <∎> undefiniert (Inversion eines schwarzen Loches ist nicht erlaubt)
 =>  Division durch 0 ist undefiniert (Singularität)

Kardinalität von [a] (dritten Grades)
      ([a]) = (([[a]])) = (([[a]][o]))                -Abbau2, -Abbau1
   ([a][a]) = (([[a]][o])([[a]][o])) = (([[a]][oo]))  2x [a], -Distribution von [[a]]
([a]...[a]) = (([[a]][o...o]))                        Induktionsschritt über alle natürlichen Zahlen

        a     b       Addition                 ooo     ooo       3 + 3             = 6
   (   [a]   [b])     Multiplication      (   [ooo]   [ooo])     3 * 3 = 3 + 3 + 3 = 9
  ((  [[a]]  [b]))    Exponentiation     ((  [[ooo]]  [ooo]))    33    = 3 * 3 * 3 = 27
 ((( [[[a]]] [b])))   Tetration         ((( [[[ooo]]] [ooo])))   333   = 327       = 7.625.597.484.987
(((([[[[a]]]][b]))))  Hyper-5          (((([[[[ooo]]]][ooo]))))  3...3 7.625.597.484.987 mal - dafür ist unser Universum bereits zu klein
...

ab      =>  (([[a]][b]))
a0 = 1  =>  (([[a]]∎)) = ((∎)) = o                  Absorbtion von [[a]], Abbau2
a1 = a  =>  (([[a]][o])) = (([[a]])) = ([a]) = a    Abbau1, 2x Abbau2

Inversion
([<a>]b) = <([a]b)>        Inversionsbeförderung1      Theorem 5   -a * eb = -(a * eb)
(<[<a>]>) = <(<[a]>)>      Inversionsbeförderung2      Axiom 4     1/-a = -1/a
(<[<a>]>b) = <(<[a]>b)>    Inversionsbeförderung3      Theorem 6   1/-a * eb = -(1/a * eb)

Beweis der Inversionsbeförderung1     für a != ∎
              ([<a>]b)
<([a]b)>([a]b)([<a>]b)    -Inversion von ([a]b)
<([a]b)>([a     <a>]b)    -Distribution von b
<([a]b)>([         ]b)    Inversion von a
<([a]b)>([         ] )    Absorbtion von b
<([a]b)>                  Abbau2

Beweis der Inversionsbeförderung3     für a != ∎
                      (   <[<a>]>   b)
<(<[a]>b)>(  <[a]>  b)(   <[<a>]>   b)    -Inversion von (<[a]>b)
<(<[a]>b)>([(<[a]>)]b)([ (<[<a>]>) ]b)    2x -Abbau1
<(<[a]>b)>([(<[a]>)      (<[<a>]>) ]b)    -Distribution von b
<(<[a]>b)>([(<[a]>)     <(<[ a ]>)>]b)    Inversionsbeförderung2
<(<[a]>b)>([                       ]b)    Inversion von (<[a]>)
<(<[a]>b)>([                       ] )    Absorbtion von b
<(<[a]>b)>                                Abbau2

Beweise der Irrationalität von √2
√2        = a/b
2         = (a/b)2
2 * b2    = (a/b)2 * b2
2 * b * b = a * a

a mod 1 = 0 & b mod 1 = 0 -> 
-> (a*a) mod   2 = 0 -> a mod 2 = 0 -> (2*b*b) mod  4 = 0 -> (b*b) mod  2 = 0 -> b mod 2 = 0
-> (a*a) mod   8 = 0 -> a mod 4 = 0 -> (2*b*b) mod 16 = 0 -> (b*b) mod  8 = 0 -> b mod 4 = 0
-> (a*a) mod  32 = 0 -> a mod 8 = 0 -> (2*b*b) mod 64 = 0 -> (b*b) mod 32 = 0 -> b mod 8 = 0
-> (a*a) mod 128 = 0 -> ...
=> √2 ist irrational

(([[oo]]<[oo]>)) = ([a]<[b]>)
 ([[oo]]<[oo]>)  =  [a]<[b]>

b =   o -> a = (([[oo]]<[ oo ]>))        eln 2 /  2
a =   o -> b = (([[oo]]<[<oo>]>))        eln 2 / -2
b =  oo -> a = (([[oo]]<[ oo ]>)[oo])    eln 2 /  2 + ln 2
a =  oo -> b = (([[oo]]<[<oo>]>)[oo])    eln 2 / -2 + ln 2
b = ooo -> a = (([[oo]]<[ oo ]>)[ooo])   eln 2 /  2 + ln 3
a = ooo -> b = (([[oo]]<[<oo>]>)[ooo])   eln 2 / -2 + ln 3
...
=> a und b sind nicht zusammen natürlich auflösbar
=> (([[oo]]<[oo]>)) ist irrational

Operatoren
   -a => <a>                                                                 für a != ∎
  a+b => ab
a+b+c => abc
  a-b => a<b>                                                                für b != ∎
  a*b => ([a][b])
a*b*c => ([a][b][c])
 a*-b => ([a][<b>]) = <([a][b])> = ([<a>][b])      +-Inversionsbeförderung1  für a,b != ∎
  a/b => ([a]<[b]>)                                                          für b !=
  1/b => ([o]<[b]>) = (<[b]>)                      Abbau1                    für b !=
  a/a => ([a]<[a]>) = o                            Inversion von [a]         für a !=
  ab  => (([[a]][b]))
  a1  => (([[a]][o])) = (([[a]])) = a              Abbau1, 2x Abbau2
  a-b => (([[a]][<b>]))                                                      für b != ∎
 a1/b => (([[a]]<[b]>))    = (([[a]][(<[b]>)]))    -Abbau1                   für b !=
 ac/b => (([[a]]<[b]>[c])) = (([[a]][(<[b]>[c])])) -Abbau1                   für b !=

abc
(([[a]][(([[b]][c]))]))
(([[a]]  ([[b]][c])  ))   Abbau1

((ab)c)1/d = ab*c/d
(([[(([[(([[a]][b]))]][c]))]]<[d]>))
((        [[a]][b]    [c]    <[d]>))   4x Abbau1

ab * ac = ab+c
([(([[a]][b]))][(([[a]][c]))])
(  ([[a]][b])    ([[a]][c])  )   2x Abbau1
(  ([[a]][b             c])  )   Distribution von [[a]]

ac * bc = (a*b)c
([(([[a]][c]))][(([[b]][c]))])
(  ([[a]][c])    ([[b]][c])  )   2x Abbau1
(  ([[a]           [b]][c])  )   Distribution von [c]

1 / e = e-1    =>  ([o]<[(o)]>) = (<[(o)]>) = (<o>)      2x Abbau1
1 / e2 = e-2   =>  ([o]<[(oo)]>) = (<[(oo)]>) = (<oo>)   2x Abbau1

ln (a*b) = ln a + ln b  =>    [([a][b])]    =   [a][b]     Abbau1
ln (a/b) = ln a - ln b  =>    [([a]<[b]>)]  =   [a]<[b]>   Abbau1
ln (ab)   = ln a * b     =>  [(([[a]][b]))]  = ([[a]][b])   Abbau1

logb a    = ln a/ln b    =>                    ([[a]]<[[b]]>)

1/(1/a) = a
(<[(<[a]>)]>)
(<  <[a]>  >)   Abbau1
(    [a]    )   Inversionsaufhebung
      a         Abbau2

(1/a)*(1/b) = 1/(a*b)
([(<  [a]>)][(<[b]  >)])
(  <  [a]>    <[b]  >  )   2x Abbau1
(  <  [a]      [b]  >  )   Inversionszusammenfassung
(  <[([a]      [b])]>  )   -Abbau1

(1/a)b = a-b
( ([[(<[a]>)]][ b ]) )
( ([  <[a]>  ][ b ]) )   Abbau1
(<([   [a]   ][ b ])>)   Inversionsbeförderung1
( ([   [a]   ][<b>]) )   -Inversionsbeförderung1

a/c + b/d = (a*d + b*c) / c*d
(  [a]          <[c]>)(  [b]          <[d]>)
(  [a][d]  <[d]><[c]>)(  [b][c]  <[c]><[d]>)   -Inversion von [d] und [c]
(  [a][d]  <[d]  [c]>)(  [b][c]  <[c]  [d]>)   2x Inversionszusammenfassung
([([a][d])]<[d]  [c]>)([([b][c])]<[c]  [d]>)   2x -Abbau1
([([a][d])              ([b][c])]<[c]  [d]>)   -Distribution von  <[c][d]>

1/a + 1/b = (a + b) / a*b
(        <[a]>)(        <[b]>)
([b]<[b]><[a]>)([a]<[a]><[b]>)   -Inversion von [b] und [a]
([b]<[b]  [a]>)([a]<[a]  [b]>)   2x Inversionszusammenfassung
([ab]<[a][b]>)                   -Distribution von  <[a][b]>

(a + b) * (a - b) = a² - b²
([a       b][a                    <b>])
([a       b][a]) ([a           b][<b>])    Distribution von [ab]
([a][a])([b][a]) ([a][<b>])  ([b][<b>])    Distribution von [a] und [<b>]
([a][a])([b][a])<([a][ b ])><([b][ b ])>   2x -Inversionsbeförderung1
([a][a])                    <([b][ b ])>   Inversion von ([a][b])
(([[a]][oo]))            <(([[b]][oo]))>   Kardinalität von [a] und [b]


Nummern
   0 =>
   1 => o
   2 => oo
  -1 => <o>
  -2 => <oo>
 1/2 => (<[oo]>)
 2/3 => ([oo]<[ooo]>)
  43 => ([b][oooo])ooo             für b = oooooooooo
 243 => ([b][([b][oo])oooo])ooo    für b = oooooooooo
1243 => ([b][([b][boo])oooo])ooo   für b = oooooooooo


Stelligkeit
{a} = ([oooooooooo][a])   Definition von {}
oooooooooo{a} = {o a}     Übertrag+            Kardinalität von oooooooooo
{a}{b} = {ab}             Zusammenfassung+
([{a}]b) = {([a]b)}       Beförderung+
{} =                      Null-Kardinalität+

23 * 114 = 2622
([ {oo}ooo ] [ {{o}o}oooo ])
 ([{oo}][{{o}o}oooo])  ([ooo][{{o}o}oooo])              Distribution von [{{o}o}oooo]
{([ oo ][{{o}o}oooo])} ([ooo][{{o}o}oooo])              Beförderung+
{{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}oooo{{o}o}oooo{{o}o}oooo   2x -Kardinalität von {{o}o}oooo
{{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}{{o}o}{{o}o}oooooooooooo   Zusammenfassung+ von o
{{{o}o}oooo{{o}o}oooo} {{o}o}{{o}o}{{o}oo}         oo   Übertrag+
{{{o}o}    {{o}o} {o}{o}{o}  oooooooooooo}         oo   Zusammenfassung+ von {o}
{{{o}o}    {{o}o} {o}{o}{oo}           oo}         oo   Übertrag+
{{{o}       {o}      oooooo}           oo}         oo   Zusammenfassung+ von {{o}}
{{{         oo}      oooooo}           oo}         oo   Zusammenfassung+ von {{{o}}}


Inverse Stelligkeit
/a\ = (<[oooooooooo]>[a])   Definition von /\
/oooooooooo a\ = o/a\       Übertrag-            Kardinalität von oooooooooo
/a\/b\ = /ab\               Zusammenfassung-
([/a\]b) = /([a]b)\         Beförderung-
/\ =                        Null-Kardinalität-
{/a\} = /{a}\ = a           Stelligkeitsaufhebung

12,1 * 1,012 = 12,2452
([ {o}oo/o\ ] [ o//o/oo\\\ ])
 ([{o}][o//o/oo\\\]) ([oo][o//o/oo\\\]) ([/o\][o//o/oo\\\])    2x Distribution von [o//o/oo\\\]
{([ o ][o//o/oo\\\])}([oo][o//o/oo\\\])/([ o ][o//o/oo\\\])\   2x Beförderung ±
{       o//o/oo\\\  } o//o/oo\\\o//o/oo\\\    /o//o/oo\\\  \   3x -Kardinalität von o//o/oo\\\
{o}{     //o/oo\\\  } o//o/oo\\\o//o/oo\\\    /o//o/oo\\\  \   -Zusammenfassung+
{o}       /o/oo\\     o//o/oo\\\o//o/oo\\\    /o//o/oo\\\  \   Stelligkeitsaufhebung1
{o}oo     /o/oo\\      //o/oo\\\ //o/oo\\\    /o//o/oo\\\  \   Zusammenfassung+ von o
{o}oo     /oo/oo\       /o/oo\\   /o/oo\\       //o/oo\\\  \   Zusammenfassung- of /o\
{o}oo     /oo/oooo        /oo\      /oo\         /o/oo\\\  \   Zusammenfassung- of //o\\
{o}oo     /oo/oooo        /ooooo                   /oo\\\  \   Zusammenfassung- of ///o\\\

100 / 3 = 33,3...
 ([ {{o}} ]<[ooo]>)
{([  {o}  ]<[ooo]>)}                                                Beförderung+
{([oooooooooo]<[ooo]>)}                                             -Übertrag+
{([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)        ([o]<[ooo]>)}    3x Distribution von  <[ooo]>
{(            )(            )(            )        ([o]<[ooo]>)}    3x Inversion von [ooo]
{ooo}                                             {([o]<[ooo]>)}    -Zusammenfassung+
{ooo}                                            ([{o}]<[ooo]>)     -Beförderung+
{ooo}                                     ([oooooooooo]<[ooo]>)     -Übertrag+
{ooo}([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)    ([o]<[ooo]>)     3x Distribution von  <[ooo]>
{ooo}(            )(            )(            )    ([o]<[ooo]>)     3x Inversion von [ooo]
{ooo}ooo                                ([/oooooooooo\]<[ooo]>)     -Übertrag-
{ooo}ooo                               /([ oooooooooo ]<[ooo]>) \   Beförderung-
{ooo}ooo/([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([ooo]<[ooo]>)([o]<[ooo]>) \   3x Distribution von <[ooo]>
{ooo}ooo/(            )(            )(            )([o]<[ooo]>) \   3x Inversion von [ooo]
{ooo}ooo/ooo                            ([/oooooooooo\]<[ooo]>) \   -Übertrag-
{ooo}ooo/ooo                           /([ oooooooooo ]<[ooo]>)\\   Beförderung-
...

100 / 3,3 = 30,3030...
 ([ {{o}} ]<[ooo/ooo\]>)
{([  {o}  ]<[ooo/ooo\]>)}                                                 Beförderung+
{([oooooooooo]<[ooo/ooo\]>)}                                              -Übertrag+
{([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>)}                             -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung-
{([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito)        ([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)}       3x Distribution von  <[ooo/ooo\]>
{(                      )(    )(    )        ([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)}       3x Inversion von [ooo/ooo\]
{ooo}                                       {([ /o\ ]<[ooo/ooo\]>)}       -Zusammenfassung+
{ooo}                                        ([{/o\}]<[ooo/ooo\]>)        -Beförderung+
{ooo}                                        ([  o  ]<[ooo/ooo\]>)        Stelligkeitsaufhebung1
{ooo}                                 ([/oooooooooo\]<[ooo/ooo\]>)        -Übertrag-
{ooo}                                /([ oooooooooo ]<[ooo/ooo\]>)    \   Beförderung-
{ooo}                 /([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>)    \   -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung-
{ooo}/([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito)     ([/o\]<[ooo/ooo\]>)    \   3x Distribution von <[ooo/ooo\]>
{ooo}/(                      )(    )(    )     ([/o\]<[ooo/ooo\]>)    \   3x Inversion von [ooo/ooo\]
{ooo}/ooo                           ([//oooooooooo\\]<[ooo/ooo\]>)    \   -Übertrag-
{ooo}/ooo                         //([  oooooooooo  ]<[ooo/ooo\]>)  \\\   2x Beförderung-
{ooo}/ooo            //([ooooooooo/ooo\/ooo\/ooo\/o\]<[ooo/ooo\]>)  \\\   -Übertrag- und 3x -Zusammenfassung-
{ooo}/ooo//([ooo/ooo\]<[ooo/ooo\]>)(dito)(dito)([/o\]<[ooo/ooo\]>)  \\\   3x Distribution von  <[ooo/ooo\]>
{ooo}/ooo//(                      )(    )(    )([/o\]<[ooo/ooo\]>)  \\\   3x Inversion von [ooo/ooo\]
{ooo}/ooo//ooo                      ([//oooooooooo\\]<[ooo/ooo\]>)  \\\   -Übertrag-
{ooo}/ooo//ooo                    //([  oooooooooo  ]<[ooo/ooo\]>)\\\\\   2x Beförderung-
...


Realanteil der komplexen Exponentialfunktion



Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion


Transzendental
 J  =  [<o>]                Phasen-Element              Definition   ln -1 = πi              (~3.1415926535i)
(J) = ([<o>]) = <o>         Abbau2                                   eJ = eπi = -1
(o)                         Eulersche Zahl                           e1 = e                  (~2.71828182845)
((o))                                                                ee                      (~15.1542622414)
[<(a)>] = a[<o>]            Phasenunabhängigkeit von a  Theorem 7    ln -ea = a + ln -1
(a  JJ ) = (a)              J-Aufhebung1                Theorem 8    ea + 2*ln -1 = ea + ln (-1)² = ea + ln 1 = ea = ea + 2πi
(a<bJJ>) = (a<b>)           J-Aufhebung2                Theorem 9    ea - b - 2*ln -1 = ea - b - ln (-1)² = ea - b - ln 1 = ea - b = ea - b - 2πi
(J) = (<J>)                 Selbstinversheit von J      Theorem 10   eJ = e-J
(([J]<[oo]>))               i und <i>                                eJ/2 =  √-1 = ±i
i = (<[<i>]>) = <(<[i]>)>   imaginäre Einheit           Theorem 11   i = 1/-i = -e-ln i
([<J>][i]) = ([J][<i>])     Kreiszahl Pi                             -J*i = J/i = J*-i = π   (~3.1415926535)

So wie ln im Imaginären um ein beliebiges Vielfaches von 2π mehrdeutig ist, so werden bei e alle Werte alle 2πi wiederholt.
Um dieses abzubilden ist die J-Aufhebung und Selbstinversheit von J nur innerhalb einer Instanzierung zulässig, 
bzw. sie müssen in insgesamt mindestens einer Instanzierung mehr enthalten sein als in Abstraktionen.

Beweis der Phasenunabhängigkeit von a     für a != [∎]
[<(a)>              ]
[<(a)>( [         ])]  -Abbau2
[<(a)>(a[         ])]  -Absorbtion von a
[<(a)>(a[o     <o>])]  -Inversion von o
[<(a)>(a[o])(a[<o>])]  Distribution von a
[<(a)>(a   )(a[<o>])]  Abbau1
[           (a[<o>])]  Inversion von (a)
             a[<o>]    Abbau1

Beweis der J-Aufhebung     innerhalb von ()
[<o>][<o>]
[<([<o>])>]   -Phasenunabhängigkeit von [<o>]
[<  <o>  >]   Abbau2
[    o    ]   Inversionsaufhebung
              Abbau1

Beweis der J-Aufhebung1     innerhalb von ()
  (a[<o>][<o>])      -Abbau1
<<(a[ o ][ o ])>>    2x Inversionsbeförderung1
  (a[ o ][ o ])      Inversionsaufhebung
  (a          )      2x Abbau1

Beweis der Selbstinversheit von J     innerhalb von ()
(J      )
(J<    >)   -Inversion des Nichts
(J<J  J>)   -J-Aufhebung2
(J<J><J>)   -Inversionszusammenfassung
(    <J>)   Inversion von J



f1(x) = x2
f2(x) = √x
f1(f2(x)) = x   (√x)2 = x
f2(f1(x)) = ±x   √(x2) = ±x


Realanteil und Imaginäranteil der komplexen Quadratwurzel



Realanteil und Imaginäranteil der komplexen Kubikwurzel


Beweis der Zweideutigkeit von (([J]<[oo]>)) bzw. √-1
Immer wenn der Exponent eine nichtganze rationale Zahl ist, gibt es eine Mehrdeutigkeit.
Und wenn der Exponent kleiner gleich O ist, ergibt die Basis gleich 0 einen entarteten Punkt.

i * i = -i * -i = (±i)2 = -1
([(([J]<[oo]>))][(([J]<[oo]>))])
(([[(([J]<[oo]>))]][oo]))       Kardinalität von [(([J]<[oo]>))]
((    [J]<[oo]>    [oo]))       2x Abbau1
((    [J]              ))       Inversion von [oo]
      <o>                       2x Abbau2
und
  ([<(([J]<[oo]>))>][<(([J]<[oo]>))>])   
<<([ (([J]<[oo]>)) ][ (([J]<[oo]>)) ])>>   2x Inversionsbeförderung1
  ([ (([J]<[oo]>)) ][ (([J]<[oo]>)) ])     Inversionsaufhebung
  (([[(([J]<[oo]>))]][oo])           )     Kardinalität von [(([J]<[oo]>))]
  ((    [J]<[oo]>    [oo])           )     2x Abbau1
  ((    [J]              )           )     Inversion von [oo]
        <o>                                2x Abbau2

Beweis der imaginären Einheit1
(<[<<(([ J ]<[oo]>))>>]>)
(<    ([ J ]<[oo]>)    >)   Inversionsaufhebung, Abbau1
(     ([<J>]<[oo]>)     )   -Inversionsbeförderung1
(     ([ J ]<[oo]>)     )   -Selbstinversheit von J

Beweis der imaginären Einheit2
<(<[(([ J ]<[oo]>))]>)>
<(<  ([ J ]<[oo]>)  >)>   Abbau1
<(   ([<J>]<[oo]>)   )>   -Inversionsbeförderung1
<(   ([ J ]<[oo]>)   )>   -Selbstinversheit von J


-1 * -1 = 1
([<o>][<o>])
(          )   J-Aufhebung1

ee = ee
(([[(o)]][(o)]))
((         o  ))   3x Abbau1

 <  a  >  = ([<([a])>]) = ([a][<o>]) = ([a]J)   2x-Abbau2, Phasenunabhängigkeit von [a]
[<  a  >] =  [<([a])>]  =  [a][<o>]  =  [a]J    -Abbau2, Phasenunabhängigkeit von [a]
 <( a )>  = ([<( a )>]) =   (a[<o>]) =   (aJ)   -Abbau2, Phasenunabhängigkeit von  a

Unbestimmtheit der Kardinalität von J     innerhalb von ()
... = (<JJJJ>) = (<JJ>) =  o  = (JJ) = (JJJJ) = ...     J-Aufhebung1, J-Aufhebung2, Inversion des Nichts
  ... = (<JJJ>) = (<J>) = (J) = (JJJ) = (JJJJJ) = ...   J-Aufhebung1, J-Aufhebung2, Selbstinversheit von J

Undefiniertheit von [∎]     innerhalb von ()
(   [∎]    )
(   [∎]  JJ)   -J-Aufhebung1
([<([∎])>]J)   -Phasenunabhängigkeit von [∎]
([<  ∎  >]J)   Abbau2 - Undefiniertheit der Inversion von ∎

Undefiniertheit von 00
(([∎]∎))
((   ∎))   Absorbtion von [∎]
(      )   Abbau2
=> 00 = 1 aber aus der Undefiniertheit von [∎] folgt prinzipiell die Undefiniertheit von 00

a0 = 1
(([[a]]∎))
((   ∎))   Absorbtion von [[a]]
(      )   Abbau2

0n = 0   n ∈ ℕ
(([∎][o...o]))
(∎...∎)   Kardinalität von ∎
(∎    )   Absorbtion von ∎
          Abbau2

ln 0 + ln -1 = ln 0
   ∎J
[<(∎)>]   -Phasenunabhängigkeit von ∎
[<   >]   Abbau2
[     ]   Inversion des Nichts


Beweis der multiplikativen Selbstinversheit von (([J]<[oo]>)) (wie o)
1/±i = ∓i
(<[(([ J ]<[oo]>))]>)
(<  ([ J ]<[oo]>)  >)   Abbau1
(   ([<J>]<[oo]>)   )   -Inversionsbeförderung1
(   ([ J ]<[oo]>)   )   -Selbstinversheit von J
und
 (<[<(([ J ]<[oo]>))>]>)
<(<[ (([ J ]<[oo]>)) ]>)>   -Inversionsbeförderung2
<(<   ([ J ]<[oo]>)   >)>   Abbau1
<(    ([<J>]<[oo]>)    )>   -Inversionsbeförderung1
<(    ([ J ]<[oo]>)    )>   -Selbstinversheit von J


∓i = ±i
    <(([ J ]<[oo]>))>
(<[<<(([ J ]<[oo]>))>>]>)   imaginären Einheit11
(<    ([ J ]<[oo]>)    >)   Inversionsaufhebung, Abbau1
(     ([<J>]<[oo]>)     )   -Inversionsbeförderung1
(     ([ J ]<[oo]>)     )   -Selbstinversheit von J

±i = ∓i
    (([ J ]<[oo]>))
<(<[(([ J ]<[oo]>))]>)>   imaginären Einheit12
<(<  ([ J ]<[oo]>)  >)>   Abbau1
<(   ([<J>]<[oo]>)   )>   -Inversionsbeförderung1
<(   ([ J ]<[oo]>)   )>   -Selbstinversheit von J


J/i = i*π / i = π
([J]<[(([ J ]<[oo]>))]>)
([J]<  ([ J ]<[oo]>)  >)   Abbau1
([J]   ([<J>]<[oo]>)   )   -Inversionsbeförderung1
([J]   ([ J ]<[oo]>)   )   -Selbstinversheit von J
und
 ([ J ]<[<(([ J ]<[oo]>))>]>)
<([ J ]<[ (([ J ]<[oo]>)) ]>)>   Inversionsbeförderung3
 ([<J>]<[ (([ J ]<[oo]>)) ]>)    -Inversionsbeförderung1
 ([<J>]<   ([ J ]<[oo]>)   >)    Abbau1
 ([<J>]    ([<J>]<[oo]>)    )    -Inversionsbeförderung1
 ([<J>]    ([ J ]<[oo]>)    )    -Selbstinversheit von J

J * -i = π
 ([ J ][<(([ J ]<[oo]>))>])
<([ J ][ (([ J ]<[oo]>)) ])>   Inversionsbeförderung1
 ([<J>][ (([ J ]<[oo]>)) ])    -Inversionsbeförderung1
 ([<J>]   ([ J ]<[oo]>)   )    Abbau1
und
([J][<<(([ J ]<[oo]>))>>])
([J][  (([ J ]<[oo]>))  ])    Inversionsaufhebung
([J]    ([ J ]<[oo]>)    )    Abbau1

π * i = J
  ([([<J>][i])][i])
  (  [<J>][i]  [i])     Abbau1
  (  [<J>][<o>   ])     i * i = -1
<<(  [ J ][ o    ])>>   2x Inversionsbeförderung1
       J                Inversionsaufhebung, Abbau1, 2x Abbau2

ii = eJ*i/2 = e-π/2 = e-π/2-2πk  k ∈ ℤ
(([[(([J]<[oo]>))]][(([J]<[oo]>))]))
((    [J]<[oo]>      ([J]<[oo]>)  ))   3x Abbau1
und
( ([[(([ J ]<[oo]>))]][<(([J]<[oo]>))>]) )
(<(    [ J ]<[oo]>    [ (([J]<[oo]>)) ])>)   2x Abbau1, Inversionsbeförderung1
( (    [<J>]<[oo]>    [ (([J]<[oo]>)) ]) )   -Inversionsbeförderung1
( (    [ J ]<[oo]>       ([J]<[oo]>)   ) )   Abbau1, -Selbstinversheit von J

i-2i = eπ
(([[(([J]<[oo]>))]][(([J]<[oo]>))][oo]))
((    [J]<[oo]>      ([J]<[oo]>)  [oo]))   3x Abbau1
((    [J]            ([J]<[oo]>)      ))   Inversion von [oo]
und
( ([[(([ J ]<[oo]>))]][<(([J]<[oo]>))>][oo]) )
(<(    [ J ]<[oo]>    [ (([J]<[oo]>)) ][oo])>)   2x Abbau1, Inversionsbeförderung1
( (    [<J>]<[oo]>    [ (([J]<[oo]>)) ][oo]) )   -Inversionsbeförderung1
( (    [ J ]             ([J]<[oo]>)       ) )   Abbau1, -Selbstinversheit von J


1/√a = √(1/a)
(<[(([ [a] ]<[oo]>))]>)
(<  ([ [a] ]<[oo]>)  >)   Abbau1
(   ([<[a]>]<[oo]>)   )   -Inversionsbeförderung1

√9 = √±32 = ±3
(([[   ooooooooo   ]]<[oo]>))
(([[(  [ooo][ooo] )]]<[oo]>))   Kardinalität von ooo
(([[(([[ooo]][oo]))]]<[oo]>))   Kardinalität von [ooo]
((    [[ooo]][oo]    <[oo]>))   2x Abbau1
((    [[ooo]]              ))   Inversion von [oo]
        ooo                     2x Abbau2
und
(([[       ooooooooo      ]]<[oo]>))
(([[  (  [ ooo ][ ooo ])  ]]<[oo]>))   Kardinalität von ooo
(([[<<(  [ ooo ][ ooo ])>>]]<[oo]>))   -Inversionsaufhebung
(([[  (  [<ooo>][<ooo>])  ]]<[oo]>))   2x -Inversionsbeförderung1
(([[  (([[<ooo>]][oo]) )  ]]<[oo]>))   Kardinalität von [<ooo>]
((      [[<ooo>]][oo]       <[oo]>))   2x Abbau1
((      [[<ooo>]]                 ))   Inversion von [oo]
          <ooo>                        2x Abbau2

-22 = 22
(([[<oo>]][oo]))
  ([<oo>][<oo>])     -Kardinalität von [<oo>]
<<([ oo ][ oo ])>>   2x Inversionsbeförderung1
  ([ oo ][ oo ])     Inversionsaufhebung
(([[oo]][oo]))       Kardinalität von [oo]

ab = -ab
((      [[ a ]]                 [b]))
((      [[ a ]][oo]       <[oo]>[b]))   -Inversion von [oo]
(([[  (([[ a ]][oo]))  ] ]<[oo]>[b]))   2x -Abbau1
(([[  (  [ a ][ a ] )  ] ]<[oo]>[b]))   -Kardinalität von [a]
(([[<<(  [ a ][ a ] )>>] ]<[oo]>[b]))   -Inversionsaufhebung
(([[  (  [<a>][<a>] )  ] ]<[oo]>[b]))   2x -Inversionsbeförderung
(([[  (([[<a>]][oo]))  ] ]<[oo]>[b]))   Kardinalität von [<a>]
((      [[<a>]][oo]       <[oo]>[b]))   2x Abbau1                      !!! Zweideutigkeit
((      [[<a>]]                 [b]))   Inversion von [oo]


Selbstinversheit   Problem
-0 = 0
1/1 = 1
                  <∎>
                   ∎ = ∎∎ = ∎∎∎ = ∎∎∎∎ = ...
J = <J>            ... = <JJJJ> = <JJ> =   = JJ = JJJJ = ... , Zweideutigkeit von (([J]<[oo]>))
1/±i = ∓i
                   ab = -ab



Dreidimensionale Darstellung der eulerschen Formel ez*i = cos z + i sin z   =>  (([z]([J]<[oo]>)))



Realanteil der komplexen Sinusfunktion



Imaginäranteil der komplexen Sinusfunktion


an+1 =  ([an]J)      o -> (J) -> o -> (J) -> o -> ...  <=  (1 -> -1 ->  1 -> -1 -> 1 -> ...)
an+1 =  ([an][i])    o -> i -> (J) -> <i> -> o -> ...  <=  (1 ->  i -> -1 -> -i -> 1 -> ...)
an+1 = <([an][i])>   o -> <i> -> (J) -> i -> o -> ...  <=  (1 -> -i -> -1 ->  i -> 1 -> ...)

ea*i = cos a + i sin a    =>     (([a][i]))
e-a*i = cos a - i sin a   =>                 (([<a>][i]))
sin a = (ea*i - e-a*i)/2i  =>  ([ (([a][i]))<(([<a>][i]))>]<[oo][i]>)
cos a = (ea*i + e-a*i)/2   =>  ([ (([a][i])) (([<a>][i])) ]<[oo]   >)

ea  = cosh a + sinh a   =>     (a)
e-a = cosh a - sinh a   =>         (<a>)
sinh a = (ea - e-a)/2   =>   ([(a)<(<a>)>]<[oo]>)
cosh a = (ea + e-a)/2   =>   ([(a) (<a>) ]<[oo]>)

sin(x + i y) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)
cos(x + i y) = cos(x) cosh(y) - i sin(x) sinh(y)
 sin(z) = -i sinh(i z)
sinh(z) =  -i sin(i z)
 cos(z) =    cosh(i z)
cosh(z) =     cos(i z)
 sin'(z) =  cos(z)
sinh'(z) = cosh(z)
 cos'(z) = -sin(z)
cosh'(z) = sinh(z)

Einheitskreis    x2 + y2 = 1   (([[x]][oo])) (([[y]][oo]))  = o
Einheitshyperbel x2 - y2 = 1   (([[x]][oo]))<(([[y]][oo]))> = o



Unendlichkeit
{a} = ([a][oo])     Definition von {}
/a\ = ([a]<[oo]>)   Definition von /\
  ω = o, {o}, {{o}}, {{{o}}}, ...      kleinste unendliche Ordinalzahl, mit Kardinalität ℵ0
  ε = o, /o\, //o\\, ///o\\\, ...
 ω  = [ω] = (ω)                               Unendlichkeit            Axiom 5      ω = ln ω = eω
<ω> = (ωJ)    [<ω>] = ωJ      ω   = <(ωJ)>    inverse Unendlichkeit    Theorem 12  -ω = eω + πi
 ε  = (<ω>)   [ ε ] = <ω>   <[ε]> = ω         Infinitesimal            Definition   ε = 1/ω
<ε> = (<ω>J)  [<ε>] = <ω>J    ε   = <(<ω>J)>  inverses Infinitesimal   Theorem 13  -ε = e-ω + πi

ω =  <(ωJ)> = <(<(ωJ)>J)> = <(<(<(ωJ)>J)>J)> = ...   inverse Unendlichkeit3
ω =  [<ω>]J = [<[<ω>]J>]J = [<[<[<ω>]J>]J>]J = ...   -inverse Unendlichkeit2
ω = <[<ε>]J> = <[ε]>  -inverses Infinitesimal2, Phasenunabhängigkeit von [<ε>], Abbau2, Inversionsaufhebung
ω =   <[<(<ω> J)>]>                                  -Infinitesimal3, inverses Infinitesimal3
ω =   <[<((ωJ)J)>]> = <[<((<[<((<[<((ωJ)J)>]>J)J)>]>J)J)>]> = ...   + inverse Unendlichkeit1
ω = [[<(<  ω   >J)>]]J = [[<(<[[<(<  ω   >J)>]]J>J)>]]J = ...         -inverse Unendlichkeit2 +
ω = <[<(<[<ω>]J>J)>]>  = <[<(<[[<(<[<ω>]J>J)>]]J>J)>]> = ...        + -inverse Unendlichkeit2

Beweis der Unendlichkeit1
  ω
[(ω)]   -Abbau1
[ ω ]   Unendlichkeit2

Beweis der Unendlichkeit2
  ω
([ω])   -Abbau2
( ω )   Unendlichkeit1

Beweis der inversen Unendlichkeit2
[< ω >]
[<(ω)>]   -Unendlichkeit2
   ωJ     Phasenunabhängigkeit von ω

Beweis des inversen Infinitesimal2
[<  ε  >]
[<(<ω>)>]   Infinitesimal1
   <ω>J     Phasenunabhängigkeit von <ω>

Beweis des Infinitesimal1
      ε
  <  <ε>  >     -Inversionsaufhebung
([<([<ε>])>])   2x -Abbau2
([<( <ω>J)>])   inverses Infinitesimal2
(    <ω>JJ  )   Phasenunabhängigkeit von <ω>J
(    <ω>    )   J-Aufhebung1

ε * ω = 1
([  ε  ][ω])   Infinitesimal
([(<ω>)][ω])   Abbau1, Unendlichkeit1
(  <ω>   ω )   Inversion von ω
(          )

ε/2
([  ε  ]<[oo]>)
([(<ω>)]<[oo]>)
(  <ω>  <[oo]>)
(  <ω    [oo]>)


Unendlichkeiten höherer Kardinalität
 ω0 = ω

‹a› =  (( [[a]] [oo]))    Definition von ‹›
 ω1 = ω0, ‹ω0›, ‹‹ω0››, ‹‹‹ω0›››, ...   Kardinalität ℵ1
«a» = ((([[[a]]][oo])))   Definition von «»
 ω2 = ω1, «ω1», ««ω1»», «««ω1»»», ...   Kardinalität ℵ2
...

ωn = [ωn] = (ωn)     Unendlichkeit mit Kardinalität ℵn
...

 Ω = ω0, ω1, ω2, ω3, ...